Question

Está tudo certo ou tem tudo errado?

O conjunto imagem da função $f(x) = \frac{2x - 3}{3x + 2}$

Answer 1

$f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+2}$

O domínio desta função é $D_{f}=\mathbb{R}-\left\{-\frac{2}{3} \right\}.$

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$\bullet~~$ Mostrar que a função $f$ dada é injetora, ou seja provar que

$\forall~x_{1},\;x_{2}\in D_{f}\,,~~~\text{se }x_{1}\ne x_{2},\text{ ent\~{a}o }f(x_{1})\ne f(x_{2}).$


Sejam $x_{1},\;x_{2}\in D_{f},$ tais que $x_{1}\ne x_{2}.$

Então,

$f(x_{1})=\dfrac{2x_{1}-3}{3x_{1}+2}~~~~~~\mathbf{(i)}\\\\\\ f(x_{2})=\dfrac{2x_{2}-3}{3x_{2}+2}~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Subtraindo $\mathbf{(i)}-\mathbf{(ii)},$ temos

$f(x_{1})-f(x_{2})\\\\ =\dfrac{2x_{1}-3}{3x_{1}+2}-\dfrac{2x_{2}-3}{3x_{2}+2}\\\\\\ =\dfrac{(2x_{1}-3)\,(3x_{2}+2)}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}-\dfrac{(2x_{2}-3)\,(3x_{1}+2)}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}\\\\\\ =\dfrac{(2x_{1}-3)\,(3x_{2}+2)-(2x_{2}-3)\,(3x_{1}+2)}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}\\\\\\ =\dfrac{6x_{1}x_{2}+4x_{1}-9x_{2}-6-(6x_{1}x_{2}+4x_{2}-9x_{1}-6)}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}$

$=\dfrac{6x_{1}x_{2}+4x_{1}-9x_{2}-6-6x_{1}x_{2}-4x_{2}+9x_{1}+6}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}\\\\\\ =\dfrac{4x_{1}-9x_{2}-4x_{2}+9x_{1}}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}\\\\\\ =\dfrac{13x_{1}-13x_{2}}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}\\\\\\ \therefore~~f(x_{1})-f(x_{2})=\dfrac{13\,(x_{1}-x_{2})}{(3x_{1}+2)\,(3x_{2}+2)}~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Por hipótese, tínhamos que $x_{1}\ne x_{2}~~\Rightarrow~~x_{1}-x_{2}\ne 0.$ Sendo assim, o numerador do lado direito da igualdade $\mathbf{(iii)}$ nunca se anula.

Portanto, 

$f(x_{1})-f(x_{2})\ne 0~~\Rightarrow~~f(x_{1})\ne f(x_{2})$

como queríamos demonstrar.


Logo, $f$ é injetora.

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Se tomarmos como contradomínio de $f$ o conjunto imagem de $f,$ garantimos que $f$ possui inversa.

O domínio da função inversa $f^{-1}$ é o conjunto imagem de $f.$

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Encontrar a função inversa de $f:$

$f\circ f^{-1}(x)=x\\\\ f[f^{-1}(x)]=x\\\\\\ \dfrac{2\,f^{-1}(x)-3}{3\,f^{-1}(x)+2}=x\\\\\\ 2\,f^{-1}(x)-3=x\cdot (3\,f^{-1}(x)+2)\\\\ 2\,f^{-1}(x)-3=3x\,f^{-1}(x)+2x\\\\ 2\,f^{-1}(x)-3x\,f^{-1}(x)=2x+3\\\\ (2-3x)\,f^{-1}(x)=2x+3~~~~~~\mathbf{(iv)}$


$\bullet~~$ Para $x=\frac{2}{3},$ a igualdade $\mathbf{(iv)}$ fica

$0\cdot f^{-1}(x)=2\cdot \dfrac{2}{3}+3\\\\\\ 0=\dfrac{4}{3}+3\\\\\\ 0=\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{3}\\\\\\ 0=\dfrac{4+9}{3}\\\\\\ 0=\dfrac{13}{3}~~~~~\mathrm{(absurdo!!!)}$


$\bullet~~$ Na equação $\mathbf{(iv)},$ devemos ter necessariamente $x\ne \frac{2}{3}.$ Dessa forma, garantimos que

$2-3x\ne 0$


e a equação $\mathbf{(iv)}$ é reduzida a simplesmente

$\boxed{\begin{array}{c} f^{-1}(x)=\dfrac{2x+3}{2-3x} \end{array}}$

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O domínio de $f^{-1}$ é o conjunto imagem de $f:$

$D_{f^{-1}}=\mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3} \right\}\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathrm{Im}_{f}=\mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3} \right\} \end{array}}$