Question

Está correto o valor desse limite ou devo usar a Regra de L'Hospital?

Answer 1

Na verdade o limite real só existe pela direita, pois o logaritmo não está definido para valores negativos de $x.$


De fato, deve se aplicar a Regra de L'Hopital. Mas antes, precisamos obter uma indeterminação do tipo $0/0$ ou $\infty/\infty:$

$L=\underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;x\mathrm{\,\ell n\,}x\\ \\ L=\underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\mathrm{\ell n\,}x}{(\frac{1}{x})}$


Na última linha acima, fazendo $x\to 0,$ chegamos a uma indeterminação do tipo $\infty/\infty.$ Logo, aplicando a regra de L'Hopital, temos

$L=\underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{d}{dx}(\mathrm{\ell n\,}x)}{\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}\\ \\ \\ L=\underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(\frac{1}{x})}{(-\frac{1}{x^{2}})}\\ \\ \\ L=\underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{x}\cdot(-x^{2})\\ \\ \\ L=\underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;(-x)\\ \\ L=0\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{ \begin{array}{c} \underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;x\mathrm{\,\ell n\,}x=0 \end{array} }$