Question

Esta circunferência tem centro O e raio de
medida 9 m. Sabendo que PB é tangente
à circunferência e que PB = 2 • PA, detox
mine a medida de PA.
B​

Answer 1

Resposta:

PA=6 cm

Explicação passo-a-passo:

Iremos chamar o comprimento PA de x e PB de 2x (Pois o exercício indica que PB=2 PA ou PB=2x).

Ligando o ponto B, tangente à circunferência, ao ponto P, Perceberemos que ela terá 9 cm de comprimento (Pois qualquer reta partida de um ponto da circunferência para o centro equivale ao raio) e faz um ângulo de 90° em relação ao ponto P (Pois B é o ponto tangente da circunferência, e toda reta tangente ligada ao centro irá produzir um ângulo de 90°), Produzindo assim um triângulo retângulo.

No triângulo PBO, temos que seus lados são:

$(9+x)$; $2x$ e $9$. Por teorema de Pitágoras conseguiremos distinguir o valor de x:

$(9+x)^2=(2x)^2+9^2$

I. Passando o 2x, ao quadrado, subtraindo:

$(9+x)^2-(2x)^2=9^2$

II. Utilizando o produto notável $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, considerando a=(9+x) e b=2x.

$(9+x+2x)(9+x-2x)=9^2$

$(9+3x)(9-x)=9^2$

III. Fatorando o 3 da primeira expressão:

$3(3+x)(9-x)=9^2$

IV. Dividindo 3 em ambos os lados:

$(3+x)(9-x)=27$

V. Fazendo a distributiva:

$27-3x+9x-x^2=27$

VI. Simplificando ambos os lados:

$6x-x^2=0$

VII. Invertendo os sinais:

$x^2-6x=0$

VIII. Fatorando o x:

$x(x-6)=0$

IX. Extraindo as raízes:

$x'=0\\x''=6$

O número 0 não serve, pois o comprimento não pode ser nulo ou negativo, neste caso. O número que resta é o 6 cm e este será a resposta da questão

6 cm