Esse tipo de problema traz uma função cuja lei de formação é do tipo: f(x)= ax + b com a=0; essa função
é chamada afim e sua representação gráfica será sempre uma reta.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
1. Permutações simples:
Para calcularmos a quantidade de anagramas que podemos formar com uma dada quantidade nn de caracteres distintos, basta fazermos:
_ _ _ (...) _ _ \rightarrow n~~positions→n positions
Em todos essas nn posições, podemos escolher nn caracteres para a primeira, (n-1)(n−1) para a segunda, e assim por diante até que reste apenas um caractere.
P=n(n-1)(n-2)...(2)(1)\rightarrow P=n!P=n(n−1)(n−2)...(2)(1)→P=n!
Denominamos essa operação com o nome de fatorial. Lê-se "n fatorial".
2. Permutações com repetição:
Observe o que acontece quando temos caracteres repetidos: analisaremos a sigla "AAB" e seus anagramas.
AAB~/~ABA~/~BAAAAB / ABA / BAA
Obtivemos 3 anagramas e isso é diferente de 3! anagramas... Mas por quê?
Vamos diferenciar os A's:
A_1A_2B~/~A_1BA_2~/~BA_1A_2~/~A_2A_1B~/~A_2BA_1~/~BA_2A_1A1A2B / A1BA2 / BA1A2 / A2A1B / A2BA1 / BA2A1
Temos aqui 6 anagramas e isso é igual a 3!.
Concluímos, então, que quando existem caracteres iguais (repetidos) não podemos apenas permutá-los, pois existirão casos repetidos. Como forma de solucionar esse impasse, faremos:
P_{R}=\dfrac{n!}{a!b!...k!}PR=a!b!...k!n!
Aqui, nn é o total de caracteres e aa é a quantidade de vezes um dado caractere se repete, bb é a quantidade de vezes que um segundo caractere se repete e assim por diante.
Exemplo: AAB
P_{R}=\dfrac{3!}{2!}\leftrightarrow P_{R}=3~anagramas.PR=2!3!↔PR=3 anagramas.
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Vamos à questão.
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A) Permutação com repetição:
P_R=\dfrac{9!}{2!3!2!}\leftrightarrow P_R=15\:120~anagramas.PR=2!3!2!9!↔PR=15120 anagramas.
9! pois temos 9 caracteres no total; 2! pelos I's repetidos; 3! pelos A's repetidos e 2! pelos R's repetidos.
B) Imposição de condições:
Vamos impor que o anagrama começa com vogal e termina com vogal.
__/ (...) /__ ⇒ primeira e última posição.
1° Caso) Começa com i e termina com i:
Fazendo isso, nas outras 7 posições teremos 7 caracteres disponíveis e com a repetição dos R's e dos A's, ou seja:
P_R=\dfrac{7!}{3!2!}\leftrightarrow P_R=420~anagramas.PR=3!2!7!↔PR=420 anagramas.
2°Caso) Começa com a e termina com a:
Ocorrerá quase da mesma forma, mas agora temos a repetição dos R's e dos I's e como caracteres distintos teremos: P, T e o A que restou (utilizamos 2).
P_R=\dfrac{7!}{2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:260~anagramas.PR=2!2!7!↔PR=1260 anagramas.
3°Caso) Começa com a termina com i:
Já foi feito em cima, a diferença é que os caracteres repetidos serão os R's e os A's. Isso ocorre pois restará para a permutação dos caracteres do meio somente 1 i, 1 t, 1 p.
P_R=\dfrac{7!}{2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:260~anagramas.PR=2!2!7!↔PR=1260 anagramas.
4°Caso) Começa com i e termina com a:
O resultado será o mesmo do 3° caso:
P_R=1\:260~anagramas.PR=1260 anagramas.
Logo, o total de anagramas que começam por vogal e terminam por vogal:
E=420+3\cdot 1\:260\rightarrow E=4\:200~anagramas.E=420+3⋅1260→E=4200 anagramas.
C) Imposição: começar com consoante.
__/(...) ⇒ primeira posição.
Temos um total de 4 consoantes e uma delas aparece duas vezes.
1°Caso) Começam por P:
P_R=\dfrac{8!}{3!2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:680~anagramasPR=3!2!2!