Question

Essa é para quem é fera em polinômios:

O polinômio $x^{3} -5 x^{2} +mx-n$ é divisível por $x^{2} -3x+6$. Então, os números m e n são tais que m + n é igual a: 

Answer 1

Olá, Lucas.

Se $x^{3}-5x^{2}+mx-n$ é divisível por $x^{2}-3x+6,$ então existe $p(x)=ax+b$ tal que:

$x^{3} -5 x^{2}+mx-n = p(x)(x^{2}-3x+6)\Rightarrow\\\\x^{3} -5 x^{2}+mx-n = (ax+b)(x^{2}-3x+6)\Rightarrow\\\\x^{3} -5 x^{2}+mx-n = ax^3-3ax^2+6ax+bx^2-3bx+6b\Rightarrow\\\\x^{3} -5 x^{2}+mx-n = ax^3+(b-3a)x^2+(6a-3b)x+6b\Rightarrow\\\\\begin{cases}a=1\\\\b-3a=-5\Rightarrow b-3=-5\Rightarrow b=-2\\\\m=6a-3b=6+6\Rightarrow\boxed{m=12}\\\\-n=6b\Rightarrow -n=-12\Rightarrow\boxed{n=12}\end{cases}$

Portanto, $\boxed{m + n =12+12=24}.$