Question

Essa é para os mestre do cálculo: Ajudem aiiiiii!!
Qual o valor da integral de linha ʃc F.dr do campo vetorial F(x,y,z) = (x+y) i + (y-z) j + z^2 k, ao longo da curva r(t) = t^2 i + t^3 j + t^2 k, com 0 ≤ t ≤ 1

Answer 1

Para um campo vetorial F e uma curva contínua C: r = r(t), t entre reais a e b, define-se a Integral de Linha de F ao longo de C desta forma:

$\int_{C}\, {\bf F} \cdot d{\bf r} = \int\limits^b_a {\bf F}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}'(t) \ dt$

Sabendo que ${\bf F} (x, y, z) = (x + y) {\bf k} + (y - z) {\bf j} + z^2 {\bf k}$ e que ${\bf r}(t) = t^2 {\bf i} + t^3 {\bf j} + t^2 {\bf k}$, desejamos encontrar ${\bf F} ( {\bf r}(t))$ e ${\bf r}' (t)$:

${\bf F} ( {\bf r} (t)) = (t^2 + t^3) {\bf i} + (t^3 - t^2) {\bf j} + t^4 {\bf k}$

${\bf r} ' (t) = 2t \ {\bf i} + 3t^2\ {\bf j} + 2t \ {\bf k}$

Então, o produto escalar é

${\bf F}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}'(t) = (2t^3 + 2t^4) + (3t^5 - 3t^4) + 2t^5$

${\bf F}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}'(t) = 5t^5 - t^4 + 2t^3$

Inserindo na definição de integral de linha de campo vetorial, e substituindo a = 0, b = 1, temos

$\int\limits^1_0 5t^5 + t^4 + 2t^3 \, dt = (\frac{5}{6}t^6 + \frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{2}t^4) \Big|_0^1 = \frac{23}{15}$

Resposta: 23/15.