Question

essa é para fazer em forma de equação polimorfica da equação de 2 grau disfarçada

Answer 1

a)

$x^4-8a^2x^2-9a^4=0\ \to\ (x^2)^2-8a^2(x^2)-9a^4=0$

Devemos resolver a equação para a variável $x^2$. Para isso, podemos utilizar a fórmula quadrática. Os coeficientes da equação quadrática serão $a=1$, $b=-8a^2$ e $c=-9a^4$. Logo:

$x^2=\dfrac{-(-8a^2)\pm\sqrt{(-8a^2)^2-4(1)(-9a^4)}}{2(1)}\ \to\ x^2=(4\pm5)a^2$

Caso 1:

$x^2=(4+5)a^2\ \to\ x^2=9a^2\ \to\ x=\pm\sqrt{9a^2}\ \to\ \boxed{x=\pm3a}\in\mathbb{R}$

Caso 2:

$x^2=(4-5)a^2\ \to\ x^2=-a^2\ \to\ x=\pm\sqrt{-a^2}\ \to\ \boxed{x=\pm ai}\notin\mathbb{R}$

A solução da equação será:

$\boxed{\mathbb{S}=\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ x=\pm3a\right\}}$

b)

$x^5-\sqrt{x^5}=12\ \to\ \big(\sqrt{x^5}\big)^2-\sqrt{x^5}-12=0$

Devemos resolver a equação para a variável $\sqrt{x^5}$. Para isso, podemos utilizar a fórmula quadrática. Os coeficientes da equação quadrática serão $a=1$, $b=-1$ e $c=-12$. Logo:

$\sqrt{x^5}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(1)(-12)}}{2(1)}\ \to\ \sqrt{x^5}=\dfrac{1\pm7}{2}$

Caso 1:

$\sqrt{x^5}=\dfrac{1+7}{2}\ \to\ \sqrt{x^5}=4\ \to\ x^5=16\ \to\ \boxed{x=\sqrt[5]{16}}\in\mathbb{R}$

Existem outras quatro soluções complexas, que podem ser encontradas através da Segunda Fórmula de De Moivre. Porém, elas não vem ao caso.

Caso 2:

$\sqrt{x^5}=\dfrac{1-7}{2}\ \to\ \sqrt{x^5}=-3\ \to\ x^5=9\ \to\ \boxed{x=\sqrt[5]{9}}\in\mathbb{R}$

Existem outras quatro soluções complexas, que podem ser encontradas através da Segunda Fórmula de De Moivre. Porém, elas não vem ao caso.

Verificando as soluções, percebemos que apenas $x=\sqrt[5]{16}$ satisfaz a equação.

A solução da equação será:

$\boxed{\mathbb{S}=\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ x=\sqrt[5]{16}\right\}}$