Question

Espresse a ́area da superf ́ıcie de um cubo como uma fun ̧c ̃ao de seu volume

Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o valor da área total do cubo em função de seu volume pode ser obtido pela seguinte fórmula:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf A = 6\cdot(\sqrt[3]{V})^{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sabemos que o cubo é um poliedro regular com seis faces planas e quadradas. Desta forma a área de cada face pode ser escrita como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{F} = a^{2}\end{gathered}$

Como o cubo possui seis faces, então sua área total é igual ao sêxtuplo da área da face, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = 6\cdot A_{F}\end{gathered}$

Substituindo "I" em "II", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = 6a^{2}\end{gathered}$

Sabemos também que  o volume do cubo é dado por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} V = a^{3}\end{gathered}$

Como queremos encontrar a área em função de seu volume, devemos isolar a aresta "a" na  equação "IV", isto é:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} V = a^{3}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt[3]{V} = a\end{gathered}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = \sqrt[3]{V}\end{gathered}$

✅ Substituindo "V" em "III", chegamos à seguinte fórmula:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = 6\cdot(\sqrt[3]{V})^{2}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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