Question

(ESPM-SP) Para que o domínio da função f(x)= ✓x(x-k)+1
seja todo o conjunto dos reais, deve-se ter:​

Answer 1

Utilizando conceitos de Domínio e inequações, temos que k deve ser: $-2\leq k\leq 2$, Letra d).

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função:

$f(x)=\sqrt{x(x-k)+1}$

Vamos fazer a distributiva para ficar mais facil ver:

$f(x)=\sqrt{x^2-k.x+1}$

Note que o domínio de uma função são todos os número onde a função existe, logo, no caso de uma raíz quadrado, o interior da raíz não pode ser negativo, pois não existe raíz quadrada de números negativos.

Note que o interior desta raíz é uma equação do segundo grau, uma equação do segundo grau só é sempre positiva se ela não tiver raízes, pois raízes é onde ela encosta no 0, e para uma função do segundo grau não ter raízes, ela tem que ter Delta negativo, ou seja:

$\Delta=b^2-4.a.c\leq 0$

Onde a=1, b=-k e c=1.

$\Delta=b^2-4.a.c\leq 0$

$\Delta=(-k)^2-4.1.1\leq 0$

$\Delta=k^2-4\leq 0$

$\Delta=k^2\leq 4$

Como k esta ao quadrado, existem dua formas dele ser menor que 4:

$-2\leq k\leq 2$

Pois assim ele ao quadrado ainda se mantem menor que 4.

Logo esta solução é a Letra d).