(ESPM-SP) O conjunto imagem de uma função inversível é igual ao domínio de sua inversa. Sendo f : A → B tal que f(x) = 2x - 1 / x + 1 uma função real inversível, seu conjunto imagem é:
Soluções para a tarefa
Seu conjunto imagem é IR - {2}.
Primeiramente, vamos determinar a função inversa de f(x) = (2x - 1)/(x + 1).
Para isso, precisamos trocar o x por y e o y por x, da seguinte maneira:
x = (2y - 1)/(y + 1).
Realizando operações na equação x = (2y - 1)/(y + 1), de modo a isolarmos o y, obtemos:
x(y + 1) = 2y - 1
xy + x = 2y - 1
xy - 2y = -x - 1
y(x - 2) = -x - 1
y = -(x + 1)/(x - 2).
Ou seja, a função inversa da função f é f⁻¹(x) = -(x + 1)/(x - 2).
Como temos um quociente, então o denominador não pode ser igual a zero.
Sendo assim:
x - 2 ≠ 0
x ≠ 2.
Portanto, o domínio da função inversa é IR - {2}.
Logo, podemos afirmar que a imagem da função f é IR - {2}.
Seu conjunto imagem será: IR - {2}.
O que são funções?
A função acaba sendo identificada como o conjunto de valores de uma determinada variável independente que está se "conectando" a um novo conjunto com valores específicos, que acaba sendo conhecido como chamado de imagens de função.
E com isso, teremos que a nossa função inversa será determinada por:
- f(x) = (2x - 1) / (x + 1).
Porém para o desenvolvimento da mesma, precisamos fazer a inversão (de x pra y e de y para x). Portanto:
x = (2y - 1) / (y + 1).
Então quando fizermos a operação nessa mesma equação que descobrirmos, com o intuito de isolarmos y, teremos:
x (y + 1) = 2y - 1
xy + x = 2y - 1
xy - 2y = -x - 1
y (x - 2) = -x - 1
y = - (x + 1) / (x - 2).
Portanto, visualizamos que a função invertida dessa função será dada por: f⁻¹ (x) = - (x + 1) / (x - 2).
PS: Pelo fator de termos um quociente, nosso denominador não é compatível com 0, logo: x - 2 ≠ 0 = x ≠ 2.
Finalizando então, o domínio dessa função inversa será:
IR - {2}.
Para saber mais sobre Funções:
https://brainly.com.br/tarefa/24443623
Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)
