Question

(ESPM-SP) A soma das raízes reais da equação x - |x - 2| = x . |x - 1| é igual a:
a) -1
b) 0
c) 3
d) 2
e) 1

Answer 1

x - |x - 2| = x . | x -1|
Iremos separa tudo para a esquerda:

x - |x - 2| - x . |x - 1| = 0

Iremos analisar todas as possibilidades.

Quando as dois módulos serão positivos:
x - (x - 2) - x . (x - 1) = 0 então x - 2 >= 0, x - 1 >= 0 ou seja x >=2
x - x + 2 - x² + x = 0
-x² + x + 2 = 0
x² - x - 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{1^2-4.1.(-2)} }{2} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{9} }{2} \\\\ x' = \dfrac{1+3}{2} = 2\\ \\ x" = \dfrac{1-3}{2} = -1$
Analisando nas nossa condições, temos que
S = {2}

Quando o primeiro módulo será negativo e o segundo sera positivos:
x -(- (x - 2) )- x . (x - 1) = 0 então x - 2 < 0, x - 1 >= 0 ou seja 1 < = x < 2
x + x - 2 - x² + x = 0
-x² + 3x - 2 = 0
x² - 3x + 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{3\pm \sqrt{(-3)^2-4.1.2} }{2} \\\\ x = \dfrac{3\pm \sqrt{1} }{2} \\\\ x' = \dfrac{3+1}{2} = 2\\ \\ x" = \dfrac{3-1}{2} = 1$
Analisando nas nossa condições, temos que:
S = {1}

Quando o primeiro módulo será positivo o segundo sera negativo:
x - (x - 2) - x . (-(x - 1) = 0 então x - 2 >= 0, x - 1 < 0
x - x + 2 - x (-x + 1) = 0
2 + x² - x = 0
x² - x + 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4.1.2} }{2} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{-7} }{2}$
x não pertence aos reais

Quando as dois módulos serão negativos:
x - (-(x - 2) ) - x . (-(x - 1)) = 0 então x - 2 < 0, x - 1 < 0 ou seja, x<1
x + x - 2 - x (- x + 1) = 0
2x - 2 + x² - x = 0
x² + x - 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{1^2-4.1.(-2)} }{2} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{9} }{2} \\\\ x' = \dfrac{-1+3}{2} = 1\\ \\ x" = \dfrac{-1-3}{2} = -2$
Analisando nas nossa condições, temos que:
S = {-2}


Somando as raízes temos que:

-2 + 1 + 2 = 1

Alternativa e

=)