Question

(ESPM) O valor de y no sistema é igual a:
$\left \{ {{(0,2) ^{5x+y}=5 } \atop {(0,5) ^{2x-y}=2}} \right.$

a) $\frac{-5}{2} b) \frac{2}{7} c) \frac{-2}{5} d) \frac{3}{5} e) \frac{3}{7}$

Answer 1

Sistema: $\left \{ {(0,2)^{5x+y}= 5} \atop {(0,5)^{2x-y}= 2}} \right.$

Trabalhando as bases dos expoentes do sistema:
$\left \{ {(0,2)^{5x+y}= 5} \atop {(0,5)^{2x-y}= 2}} \right. ~~~ \to ~~~ \left \{ {( \frac{1}{5} )^{5x+y}= 5} \atop {( \frac{1}{2} )^{2x-y}= 2}} \right. ~~~ \to ~~~ \left \{ {(5^{-1})^{5x+y}= 5} \atop {(2^{-1})^{2x-y}= 2}} \right.$

Propriedade de uma potência de outra potência:
$(a^x)^y = a^{x \cdot y}$

Aplicando a propriedade acima no sistema, teremos:
$\left \{ {(5^{-1})^{5x+y}= 5} \atop {(2^{-1})^{2x-y}= 2}} \right. ~~~ \to ~~~ \left \{ {5^{-5x-y}= 5} \atop {2^{-2x+y}= 2}} \right.$

Se as bases são iguais, os expoentes também serão iguais. Portanto, podemos reduzir o sistema inicial, e chegaremos a:
$\left \{ {5^{-5x-y}= 5} \atop {2^{-2x+y}= 2}} \right. ~~~ \to ~~~ \left \{ {{-5x-y= 1} \atop {-2x+y= 1}} \right.$

Somando as equações, teremos:
$-5x-2x+y-y= 1+1 \\ \\ -7x= 2 \\ \\ \boxed{x= -\frac{2}{7}}$

Como sabemos o valor de 'x' podemos substitui-lo em uma das equações e determinar o valor de 'y'. Observe:
$-2x+y= 1 \\ \\ -2 \cdot (- \frac{2}{7} )+y= 1 \\ \\ \frac{4}{7} + y= 1 \\ \\ y= \frac{7}{7} - \frac{4}{7} \\ \\ \boxed{\boxed{y= \frac{3}{7}}}$