Question

(ESPM) As progressoes aritmeticas (2;9;16..........k) e (382;370;358.........k) sao finitas e tem o mesmo numero de termos. O valor de k é igual a:

Answer 1

Analisemos cada uma das PAs. O termo geral da primeira PA, com razão r=7 e primeiro termo , é . Já o termo geral da segunda, com primeiro termo  e razão r = -12, é .
Podemos fazer , pois ambos os termos são iguais a k e ambas as PAs têm o mesmo número de termos, o n é igual pras duas. Substituindo as respectivas expressões temos:

7n - 5 = -12n + 394 ⇒ 7n + 12n = 394 + 5 ⇒ 19n = 399 ⇒ n = 21.

Agora que temos o número de termos da PA podemos substituir o valor de n encontrado para encontrar o valor de k. Substituindo na expressão de temos:

k = 7.21 - 5 ⇒ k = 147 - 5 ⇒ 

Answer 2

1° PA(2,9,16,.....................,k) , a1=2 e r1=9-2 ⇒ r1=7

achando k ⇒ ak=a1+(k-1).r1 ⇒ak=2+(k-1),7 ⇒ ak=2+7k-7 ⇒ ak=7k-5

2° PA(382,370,358,..........,k), a1=382, e r2=-12

ak=382+(k-1).(-12)= 382-12k+12 ⇒ ak=394-12k

igualando ak=ak temos

7k-5=394-12k ⇒ 7k+12k=394+5 ⇒ 19k=399 ⇒ k=21

logo as PA's tem 21 termos.