Question

(espm) a função f(x) = ax+b e estritamente decrescente. Sabe-se que f(a)= 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) e:

Answer 1

Pergunta boa. Fico feliz em respondê-la :)

Primeiramente, jogamos a e b na função e igualamos ao valor que temos(ao jogarmos f(a), deveremos igualar a 2b, por exemplo).

$f(a)=a\cdot a + b = a^2+b=2b\therefore \boxed{a^2=b}\\ f(b)=ab+b=2a\therefore \boxed{ab+b=2a}$

Sabemos que b é o quadrado de a da primeira equação. Jogamos isso na segunda:

$a(a^2)+a^2=2a\\a^3+a^2-2a=0\\ a(a^2+a-2)=0\\ a(a-1)(a+2)=0\\ a=0\ \ \text{ou} \ \ \ a = 1 \ \ \text{ou} \ \ \text a=-2$

Como a função f é estritamente decrescente, seu coeficiente angular(a) é negativo, e por isso, teremos:

$a=-2$

Consequentemente:

$b=4$

E temos:

$f(x)=-2x+4\\ f(3)=-2(3)+4\\ \\ \boxed{f(3)=-2}$