Question

(ESPM 2019) Seja f uma função real tal que:


f(x) = – x² + k . x + 3k , com k > 0.


Sabe-se que, para x ⩽ 0, o valor máximo de f é igual a 12.


Podemos concluir que, para x > 0, seu valor máximo é:

Alguem me ajuda ai por favor

Answer 1

Resposta:

O valor máximo será igual a 16.

Explicação passo-a-passo:

De todos os valores pra x ≤ 0, o que vai resultar no valor máximo (12) é o próprio zero, porque nos demais a função vai continuar somando o sinal negativo do coeficiente a ao x² e o coeficiente b vai ficar negativo.

f(x) = - x² + kx + 3k

- 0² + k*0 + 3k = 12

0 + 0 + 3k = 12

3k = 12

 k = 12/3

 k = 4

Nos valores em que x > 0, o coeficiente a vai permanecer negativo e já coeficiente b vai ficar positivo.

O valor máximo de uma função quadrática decrescente é igual ao Y do vértice:

f(x) = - x² + 4x + 12

Δ = 4² - 4(-1)(12)

Δ = 16 + 48

Δ = 64

Yv = - Δ/4a

Yv = - 64/2(-1)

Yv = - 64/(-2)

Yv = 16

Answer 2

O valor máximo ocorre no vértice da parábola e é igual a 16.

Valor máximo

Observe que a função dada na questão é uma função quadrática, portanto, o seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente quadrático é negativo, temos que, a concavidade está voltada para baixo.

Dessa forma, teremos um máximo global no vértice dessa parábola. Vamos calcular a derivada da função e igualar a zero para determinar o ponto máximo:

$\dfrac{df}{dx} = -2x + k = 0 \Rightarrow x = k/2$

Como k > 0, temos que, x > 0. Logo, a coordenada x do vértice é positiva, dessa forma, podemos afirmar que, a parábola intercepta o eixo y em y = 12.

Essa conclusão é verdadeira, pois antes de cruzar o eixo y a função é crescente. Logo:

$f(0) = 12 \Rightarrow 3k = 12 \Rightarrow k = 4$

Dessa forma, o valor máximo ocorre em x = k/2 = 2 e é igual a:

$f(6) = -2^2 + 4*2 + 3*4 = -4 + 8 + 12 = 16$

Para mais informações sobre derivada, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48098014

#SPJ2