Question

ESPM 2018: Resolver e explicar raciocínio

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Larissa, que a resolução é mais ou menos simples.Necessita que se tenha conhecimento sobre planificação de polígonos.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que as arestas dadas representam a planificação lateral de um prisma, cujas medidas são: "x", "y", "z" e "w". Note que "x", "y" e "z" são as medidas de cada lado de um triângulo (note que se trata de um prisma triangular) e "w" é a medida da altura do prisma.

ii) Como os números "x", "y", "z" e "w" são inteiros consecutivos, então vamos chamá-los assim:

x = x

y = x+1

z = x+2

w = x+3.

Como a soma de todas as arestas dá 42, então note que, quando desplanificarmos o prisma triangular, vamos ter "2x", "2y" , "2z" e "3w", pois o prisma triangular tem um triângulo na base e um triângulo em cima, cuja altura "w" aparece 3 vezes (que são as arestas da altura que ligam a base do triângulo) enquanto o "x", o "y" e o "z" só aparecem duas vezes (que são as medidas dos lados do triângulo da base e do triângulo de cima). Assim, como a soma de todas as arestas dá 42, então teremos que:

2x + 2y + 2z + 3w = 42 ---- como já vimos os valores de "x", de "y", de "z" e de "w", então vamos substituir, ficando assim:

2x + 2*(x+1) + 2*(x+2) + 3*(x+3) = 42 ---- desenvolvendo, temos:

2x + 2x+2 + 2x+4 + 3x+9 = 42 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:

9x + 15 = 42 --- passando "15" para o segundo membro, temos:

9x = 42 -15

9x = 27

x = 27/9

x = 3 <--- Este é o valor de "x".

Assim, os lados do triângulo (tanto o da base como o de cima) bem como a altura "w" terão as seguintes medidas:

x = 3

y = x+1 = 3+1 = 4

z = x+2 = 3+2 = 5

w = x+3 = 3+3 = 6.

iii) Agora vamos encontrar qual é a área do triângulo da base (que é a mesma do triângulo de cima, já que os lados são os mesmos). Para isso, vamos utilizar a fórmula de Heron, que é dada assim, considerando-se um triângulo cujo semiperímetro seja "p" e cujos lados meçam "a", "b" e "c":

A = √[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]

No caso do triângulo da sua questão temos que o semiperímetro será:

(x+y+z)/2 = (3+4+5)/2 = 12/2 = 6 <--- Este é o semiperímetro.

E considerando que x = 3; y = 4 e z = 5, teremos:

A = √[6*(6-3)*(6-4)*6-5)]

A = √[6*(3)*(2)*(1)] ------ desenvolvendo, temos:

A = √(36) ---- como √(36) = 6, teremos:

A = 6 cm² <--- Esta é a área da base do prisma da sua questão.

iii) Finalmente, agora vamos calcular o volume do prisma. Note que o volume de um prisma é dado por:

V = Ab*h, em que "Ab" é a área da base (que já vimos que é 6) e "h" é a altura, que já vimos que é dado por "w" e que também já vimos que "w" é igual a 6. Logo, o volume será dado por:

V = 6*6

V = 36 cm³ <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.