Espm 2018 Na figura abaixo, M, N e P são os pontos de tangência do triângulo retângulo ABC com sua circunferência inscrita. Se AB=3 e Ac=4, a área do triângulo BMN é igual a:
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A área do triângulo BMN é igual a 1,6.
Vamos considerar que O é o centro da circunferência e que r é a medida do raio.
Então, os segmentos OM, ON e OP são iguais a r.
Como AB = 3 e AC = 4, podemos concluir que BC = 5 (triângulo pitagórico).
Assim,
BM = 3 - r
PC = NC = 4 - r
BC = 1 + r.
Perceba que o triângulo MNO é isósceles. Então, os ângulos da base são iguais.
Com isso, podemos afirmar que o triângulo BMN também é isósceles.
Logo,
3 - r = 1 + r
2r = 2
r = 1.
Assim, BM = BN = 2.
Podemos calcular a área do triângulo BMN da seguinte maneira:
S = BM.BN.sen(B)/2.
O sen(B) é igual a:
sen(B) = 4/5.
Portanto, a área do triângulo BMN é igual a:
S = 2.2.4/5.1/2
S = 16/10
S = 8/5
S = 1,6.
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