Question

(ESPM-2013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF e um triângulo isosceles, onde AF = AB. A medida do ângulo a é:
a) 120°
b) 135°
c) 127,5°
d) 122,5°
e) 110,5°
​

Answer 1

A alternativa correta é a c) 127,5°

O primeiro passo é definirmos um ponto para ser o encontro das diagonais do quadrado ABCD, chamaremos esse ponto de G.

Como o triângulo  BDE

é equilátero, temos que  DBE =  60°

Além disso, temos que AF = AB e que GAB = 45° e que ABD = GAB, logo, ABD = 45°

ABF = AFB = GAB / 2

ABF = 22,5 °

Portanto, para encontrarmos a medida do angulo:

$\alpha = ABF + ABD + DBE$

$\alpha$ = 22,5 + 45 + 60

$\alpha = 127,5$°

Espero ter ajudado, bons estudos :)

Answer 2

A medida do ângulo a é c) 127,5°.

Temos:

• ABCD é um quadrado:

Sabemos que a soma dos ângulos de um quadrado é 360º, portanto cada ângulo vale 90º

• BDE é um triângulo equilátero:

A soma dos ângulos do triângulo é igual a 180º, no triângulo equilátero os três ângulos internos possuem a mesma medida, ou seja, cada ângulo vale 60º

• BDF e um triângulo isósceles:

A soma dos ângulos do triângulo é igual a 180º, no triângulo isósceles temos os dois ângulos com a base iguais.

• AF = AB

O primeiro passo definir do que é formado o ângulo "â":

a = ABF + ABD + BDE

Sabemos que ABC = 90º então ABD = DBC:

ABD + DBC = ABC

x + x = 90

2x = 90

x =  $\frac{90}{2}$ = 45º

Sabemos que BDE = 60º

Precisamos achar o ângulo ABF:

CAB = 45º

CAB + BAF = 180º

BAF = 180 - 45 = 135º

A soma dos ângulos do triângulo ∑ABF = 180º

∑ABF = 180º = BAF + ABF + AFB

ABF = AFB

ABF = $\frac{45}{2}$ = 22,5 °

Portanto:

a = ABF + ABD + BDE

a =  22,5 + 45 + 60

a = 127,5º ( Alternativa C)

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Bons estudos!