Question

(Especex 2013) uma indústria produz mensalmente X lote de um produto. O valor mensal resultante de vendas deste produto é V (x) =3ײ - 12x o custo mensal da produção e dado por C(x) =5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o nº de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual à :

Answer 1

Olá, boa tarde.

Uma indústria produz mensalmente $x$ lotes de um produto. O valor mensal resultante de vendas deste produto é $V(x)=3x^2-12x$ e o custo mensal da produção é dado por $C(x)=5x^2-40x-40$.

Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, devemos determinar o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo.

Primeiro, considere a função lucro $L(x)$. De acordo com o enunciado, esta função é obtida pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção. Com isso, temos que:

$L(x)=V(x)-C(x)$

Substituindo $V(x)=3x^2-12x$ e $C(x)=5x^2-40x-40$, temos:

$L(x)=3x^2-12x-(5x^2-40x-40)$

Efetue a propridade distributiva da multiplicação e some os termos

$L(x)=3x^2-12x-5x^2+40x+40\\\\\\\Rightarrow L(x)=-2x^2+28x+40$

Então, devemos determinar o valor de $x$ para o qual $L(x)$ á máximo.

Observe que a função lucro é uma função quadrática, da forma $f(x)=ax^2+bx+c,~a\neq0$.

O valor do coeficiente dominante $a$ determina para qual direção está voltada sua concavidade e, também, se esta função tem ponto de máximo ou mínimo:

• Se $a>0$, a parábola tem concavidade voltada para cima e tem ponto de mínimo.
• Se $a<0$, a parábola tem concavidade voltada para baixo e tem ponto de máximo.

Este ponto de máximo ou mínimo se encontra no vértice desta parábola.

Dados os coeficientes desta função, seu vértice se encontra nas coordenadas $(x_v,~y_v)$, em que $x_v=-\dfrac{b}{2a}$ e $y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$.

De acordo com a função lucro que encontramos, temos que: $a=-2,~b=28$ e $c=40$.

Observe que neste caso, $a=-2<0$. Com isso, confirma-se que esta função lucro tem ponto de máximo.

Visto que buscamos o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo, devemos determinar a abscissa do vértice, $x_v$, desta parábola.

Substituindo os coeficientes na fórmula dada anteriormente, temos:

$x_v=-\dfrac{28}{2\cdot(-2)}$

Multiplique os termos no denominador

$x_v=-\dfrac{28}{-4}$

Simplifique a fração por um fator $(-4)$

$x_v=7~\bold{lotes~mensais}$

Este deve ser o número de lotes mensais vendidos por esta indústria de modo que ela obtenha lucro máximo.

Answer 2

Resposta:

Explicação:

Primeiramente, vamos determinar a função Lucro, que será a diferença entre as vendas e o custo.

L(x) = V(x) - C(x)

L(x) = 3x² - 12x - (5x² - 40x - 40)

L(x) = -2x² + 28x + 40

A função lucro, da forma ax² + bx + c, possui coeficiente a negativo. Desse modo, podemos concluir que ela possui um ponto de máximo. Para calcular esse ponto, devemos derivar a equação e igualar a zero.

L'(x) = -4x + 28

-4x + 28 = 0

4x = 28

x = 7

Portanto, o lucro máximo da empresa ocorre com a venda de 7 lotes.