Question

EsPCEx - função inversa e composta

1)Sejam as funções
f: D(f) : R+ e Im(f) : [-3, +infinito[
g: D(g) : R+ e Im(g) : [2, +infinito[
definidas respectivamente por f(x)= 3x² -3 e g(x) = 2x²+2. Se h(x) = g(f(x)), então o valor de h^(-1)(10) , onde é a função inversa de h(x) é :

Não estou conseguindo construir a função inversa.

Answer 1

$f(x)=3x^2-3,\ g(x)=2x^2+2\\\\ h(x)=g(f(x))=2(3(x^2-1))^2+2\ \to\ h(x)=18(x^2-1)^2+2\\\\ y=18(x^2-1)^2+2\ \to\ x=18(y^2-1)^2+2\ \to\ (y^2-1)^2=\dfrac{x-2}{18}\ \to\\\\ \to\ y^2=\sqrt{\dfrac{x-2}{2(9)}}+1\ \to\ \boxed{h^{-1}(x)=\sqrt{\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{x-2}{2}}+1}}\\\\\\ h^{-1}(10)=\sqrt{\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{10-2}{2}}+1}=\sqrt{\dfrac{1}{3}\sqrt{4}+1}=\sqrt{\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3}}=\boxed{\sqrt{\dfrac{5}{3}}}$