Question

(EsPCEx) Considere a soma

$s = log( \frac{3}{2} ) + log( \frac{4}{3} ) + log( \frac{5}{4} ) + ... + log( \frac{n}{n - 1} )$
em que n é um número natural. O menor valor de n para o qual S >1 é:

a) 20
b) 21
c) 22
d) 25
e) 29
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Answer 1

 Se você perceber, os números sempre irão se anular, por exemplo, vamos considerar n =5:

$S=Log(\frac{3}{2})+Log(\frac{4}{3})+Log(\frac{5}{4})\\S=Log3-Log2+Log4-Log3+Log5-Log4\\S=-Log2+Log5$

 Então podemos concluir que S = -Log2 +LogN

$-Log2+LogN>1\\-[Log2-LogN]>1\\-[Log(\frac{2}{N})]>1\\Log(\frac{2}{N})>-1\\\frac{2}{N}>10^{-1}\\\frac{2}{N}>\frac{1}{10}\\N>10.2\\N>20$

 Logo, o menor valor seria n = 21

Dúvidas só perguntar!

Answer 2

Resposta:

b

Explicação passo-a-passo:

s = log(3/2).(4/3).(5/4) . ... . (n/n-1)

Faz o cancelamento e encontra-se s = log(1/2).(n).

Logo s = log(n/2)

log(n/2) > 1

n/2 > 10

n > 20.

o número 21 atende ao desejado.