Question

(espcex/97) Considere as proposições abaixo:
I- O volume V d um cilindro equilátero de raio r é V=4pir³.
II- O volume de um cubo de área total 600cm² é 1000cm³.
III- Quando o raio de uma esfera aumenta 100%, o volume da esfera aumenta 700%.
IV- Uma reta r e um plano (alpha) são perpendiculares a uma outra reta t, em pontos distintos, então r e (alpha) são paralelos.
Dentre as proposições acima somente é/são falsa(s) a(s):
a) I b) II c) I e III d) I e IV e) III e IV

Answer 1

I. O volume de um sólido é a área da base multiplicada pela altura. Em particular, para um cilindro equilátero, que possui altura igual ao diâmetro da base:
$V = A_b \cdot h = \pi r^2 \cdot 2r = 2 \pi r^3$

Falsa

II. A área total de um cubo é a soma das áreas das faces. Como as faces tem áreas iguais, e um cubo tem 6 faces:
$A_t = 6 A = 6a^2 \Rightarrow 600 = 6 a^2 \Rightarrow a^2 = 100 \Rightarrow a = 10 \: cm \\ V = a^3 \Rightarrow V = 1000 \: cm^3$

Verdadeira

III. O volume de uma esfera é:
$V = \frac43 \pi r^3$

Considerando que o raio aumentou 100%:
$r' = r + \frac{100}{100} r = 2r$

Assim:
$V' = \frac43 \pi (r')^3 \Rightarrow V' = \frac43 \pi (2r)^3 = \frac43 \pi \cdot 8r^3 = 8  \cdot \frac43 \pi r^3 = 8 V$

O aumento foi:
Final - Inicial = 8V - V = 7V

Vamos calcular o aumento percentual no volume usando uma regra de três:
V --------- 100%
7V --------  X

Multiplicando cruzado:
X = 700%

Verdadeira.

IV. Verdadeira.

A única proposição falsa é a número I.

Resposta: letra A.