Question

(espcex 2016) considere a reta t mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta s∶2x-3y 12=0 intercepta os eixos coordenados. Então, a distância do ponto m(1;1) à reta t é:

Answer 1

A distância do ponto M à reta t é igual a 10√13/13.

Distância entre ponto e reta

• A distância entre ponto e reta pode ser calculada pela fórmula d(r, P) = |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²);
• A reta deve estar na forma geral ax + by + c = 0;

O primeiro passo é encontrar os pontos onde a reta s intercepta os eixos coordenados.

• para x = 0:

2x - 3y + 12 = 0

-3y = -12

y = 4

• para y = 0

2x - 3y + 12 = 0

2x = -12

x = -6

Os pontos que formam o segmento são A(0, 4) e B(-6, 0). A mediatriz t passa pelo ponto médio desse segmento:

M = ((0 + (-6)/2), (4 + 0)/2)

M = (-3, 2)

A reta que contém o segmento AB tem coeficiente angular igual a:

m = (0 - 4)/(-6 - 0)

m = 2/3

Como t é perpendicular a esta reta, seu coeficiente angular será o inverso do oposto, ou seja, mt = -3/2. A reta t passa por (-3, 2), logo:

y - 2 = (-3/2)·(x + 3)

y - 2 = -3x/2 - 9/2

2y - 4 = -3x - 9

t: 3x + 2y + 5 = 0

Temos então que a = 3, b = 2, c = 5, x₀ = 1 e y₀ =  1. Substituindo na fórmula:

d(t, M) = |3·1 + 2·1 + 5|/√(3² + 2²)

d(t, M) = |10|/√13

d(t, M) = 10√13/13

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