(EsPCEx 2013) Sendo z o número complexo obtido na
rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo
1 + i, determine z³:
a) 1 - i
b) -1 + i
c) -2i
d) -1 - 2i
e) 2 + 2i
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Olá.
Sabemos que a representação geométrico de um número complexo z =✓|z|.cis(O) é uma circunferência de raio |Z| cujo vetor faz um ângulo O com o eixo das abcissas (x>0).
90° é o mesmo que π/2 Rad
Se pensarmos no cis(π/2), sabemos que ele pode ser escrito como:
cis(π/2) = cos(π/2) + i.sin(π/2)
cis(π/2) = 0 + i.1
cis(π/2) = i
Ou seja, multiplicar um complexo por " i " é o mesmo que rotacioná-lo 90° no plano de Argand-Gauss.
Como z é dado pela rotação de 1 + i em 90 graus, temos que:
Z = (1+i).i
Z = i + i²
Z = i - 1
Z = -1 + i
O enunciado deseja o valor de Z³.
Elevando ambos lados ao quadrado
Z² = (-1 + i)²
Z² = -2i
Temos:
Z = -1+i
Z² = -2i
Multiplicando as equações:
Z² . Z = (-2i)(-1+i)
Z³ = 2i - 2i²
Z³ = 2i - 2.(-1)
Z³ = 2i + 2
Z³ = 2(1 + i)
Z³ = 2 + 2i
Alt E