Question

(Eseg) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo com AB= 33 e AC= 44,o triângulo PQR é isosceles e retângulo e QR é pararelo a AB. Qual a área de PQR?

Answer 1

A área de PQR é igual a 144.

Como o triângulo PQR é isósceles, então os ângulos Q e R são iguais a 45°.

Além disso, como QR é paralelo a AB, então o triângulo APQ também é isósceles.

Considere que AQ = AP = x. Sendo assim, PQ = PR = x√2.

Além disso, temos que CQ = 44 - x.

Os triângulos ABC e QRC são semelhantes. Logo,

$\frac{44}{33}=\frac{44-x}{QR}$

$QR=\frac{1452}{44}-\frac{33x}{44}$.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo PQR:

$(\frac{1452}{44}-\frac{33x}{44})^2=(x\sqrt{2})^2+(x\sqrt{2})^2$

$-\frac{55x^2}{16}-\frac{99x}{2}+1089=0$

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos duas soluções: x = 12 e x = -132/5. Como o lado não pode ser negativo, então x = 12.

Assim, a área do triângulo PQR é igual a:

$S=\frac{12\sqrt{2}.12\sqrt{2}}{2}$

S = 144.