Question

Escrever um vetor w como combinação linear dos vetores t, u e v é encontrar os valores dos escalares a, b e c, tais que, w = a.t + b.u + c.v. Assim, se for possível escrever o vetor w = (10, 7, 4) como uma combinação linear entre t = (1, 0, 1), u = (1, 1, 1) e v = (0, -1,1), o valor de a + b + c será

Answer 1

Olá

w = (10, 7, 4)
t = (1, 0, 1)
u = (1, 1, 1)
v = (0, -1,1)

w = at + bu + cv

(10, 7, 4) = a(1, 0, 1) + b(1, 1, 1)  + c(0, -1,1)

(10, 7, 4) = (a, 0, a) + (b, b, b)  + (0, -c,c)

Monta um sistema

{ a + b = 10
{  b - c = 7
{ a + b + c = 4

Pegando a 1ª equação
a + b = 10
a = 10 - b

Substituindo o valor de 'a' na 3ª equação

a + b + c = 4
10 - b + b + c = 4
10 + c = 4
c = -6

Substituindo o valor de 'c' n 2ª equação

b - c = 7
b - (-6) = 7
b + 6 = 7 
b = 1

Substituindo o valor de 'b' na 1ª equação para encontrar o valor de a

a + b = 10
a + 1 = 10
a = 9

Encontramos os valores de a, b ,e c, agora é só somar os três valores.

a=9  ; b=1; c=-6

 a + b + c 
=9 + 1 +(-6)
=10-6
=4              ← Resposta final
 
Escrevendo o vetor w como combinação linear de t,u,v

w = 9t + u - 6v