Question

Escrever o vetor m = (5, 1, 5) como combinação linear dos vetores:
u = (1, 2, −1), v = (−2, −3, 1) e w = (1, 3, −1)

Answer 1

M = xU + yV + zW
(5, 1, 5) = x(1, 2, -1) + y(-2, -3, 1) + z(1, 3, -1)

Montando o sistema:

5 = x - 2y + z
1 = 2y - 3x + 3z
5 = -x + y - z

Dá para achar y:
5 = x - 2y + z
5 = -x + y - z

10 = -y
y = -10

Agora, para achar os outros escalares que corroboram a combinação linear, vamos usar o método da multiplicação para eliminar uma incógnita:

5 = x + 20 + z (-2)
1 = 2x + 30 + 3z  (1)

Obtém-se:

-10 = -2x -40 - 2z
1 = 2x + 30 + 3z

-9 = -10+ z
z = 1

Pronto! Já descobrimos duas incógnitas, isto é, dois escalares. Agora, para achar o terceiro e último, basta substituir alguma equação do sistema com os valores encontrados: 

5 = x - 2y + z
5 = x - 2*(-10) + 1
x = -16

Logo, m = -16u - 10v + w. Ou seja: (5,1, 5) = -16(1, 2, -1) -10(-2, -3, 1) + (1, 3, -1).