Question

escrever na forma trigonometrica o número complexo Z=
$\sqrt{2} + i \sqrt{2}$
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Answer 1

Resposta:

A forma trigonométrica de um número complexo é dada por:

$z = |z| ( \cos(θ) + i. \sin(θ) )$

Temos que:

$a = \sqrt{2} \: \: e \: \: b = \sqrt{2}$

$|z| = | \sqrt{2} + \sqrt{2}.i |$

Lembre-se que

$|a + bi| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

dessa maneira, temos:

$|z| = | \sqrt{2} + \sqrt{2}.i |$

$|z| = \sqrt{ { \sqrt{2} }^{2} + { \sqrt{2} }^{2} }$

$|z| = 2$

Temos que encontrar o argumento do complexo:

$\cos(θ) = \frac{ a }{ |z| }$

$\cos(θ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\sin(θ) = \frac{b}{ |z| }$

$\sin(θ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Para

$0 \leqslant θ < 2\pi$

Então, temos:

$θ = \arg(z) = \frac{\pi}{4}$

Assim, a forma trigonométrica do complexo, é:

$z = |z| ( \cos(θ) + i. \sin(θ) )$

$z = 2( \cos( \frac{\pi}{4} + i. \sin( \frac{\pi}{4} ) )$

Verificação

Como

$\sin( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \: \: e \: \: \cos( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

temos:

$z = 2( \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} .i)$

$z = 2 \times \frac{ \sqrt{2} }{2} + 2 \times \frac{ \sqrt{2} }{2} .i$

$z = \sqrt{2} + i \sqrt{2}$