Question

Escrever as equações das retas que contém as diagonais do paralelogramo de vértices A = (1, - 1, 2), B = (2,3,-4), C = (2,1,-1) e D = (1,1,-1) nas formas paramétrica e simétrica. (as
diagonais serão AB e CD)

Answer 1

Olá.

Reta que contém a diagonal AB.

Calculamos o vetor AB:

AB = B - A = (2, 3, -4) - (1, -1, 2) = (1, 4, -6)

Agora tomamos um ponto qualquer da reta. Escolherei o A, por exemplo.

A reta será o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfazem:

$\vec x = \vec A + \lambda \overset{\to}{AB}, \ \ \lambda\in\mathbb{R}\\ \\ \boxed{(x,y,z)= (1,-1,2) + \lambda(1,4,-6), \ \ \ \lambda\in\mathbb{R}}$

Essa é uma equação, que pode ser escrita de outro modo, se preferir:

$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\y=-1+4\lambda\\z=2-6\lambda\end{cases} ,\ \ \lambda\in\mathbb{R}$


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Reta que contém a diagonal CD.

vetor CD = D - C = (1, 1, -1) - (2, 1, -1) = (-1, 0, 0)

De modo análogo, a equação será:

$\boxed{(x,y,z)=(2,1,-1) +\lambda(-1,0,0)}$

Ou então:

$s:\begin{cases}x = 2-\lambda\\y=1\\z=-1\end{cases}, \ \ \ \lambda\in\mathbb{R}$