Question

Escrever a expressão do polinômio p(x) do 2° grau, de raiz nula, tal que p(x) – p(x-1) = x para todo x real.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Tem-se:

p(x) = ax² + bx + c

p(x - 1) = a(x- 1)² + b(x - 1) + c

p(x - 1) = a(x² - 2x + 1) + bx - b + c

p(x - 1) = ax² - 2ax + a + bx - b + c

p(x) - p(x - 1) = x

ax² + bx + c - (ax² - 2ax + a + bx - b + c) = x

ax² + bx + c - ax² + 2ax - a - bx + b - c = x

ax² + bx + c - ax²  - bx  - c + 2ax - a  + b  = x

ax² + bx + c - (ax²  + bx  + c) + 2ax - a  + b  = x

2ax - a  + b  = x

2ax = x (I)

-a + b = 0 (II)

(I):

2ax = x => 2a = 1 => a = 1/2

(II):

-a + b = 0

b = a

b = 1/2

Outra informação:

Tem uma raiz nula:

ax² + bx + c = 0

x = 0

a(0)² + b(0) + c = 0 => c = 0

p(x) = (1/2)x² + (1/2)x