Matemática, perguntado por plisajuda, 9 meses atrás

Escrever a equação reduzida da parábola com vértice V(0,0) e foco V(0,-7).

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Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{y=-\dfrac{1}{28}\cdot x^2}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a equação reduzida desta parábola, devemos relembrar algumas propriedades.

A parábola é uma cônica originada a partir de um corte paralelo a geratriz de um cone e é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz.

Dadas algumas informações, podemos deduzir como será sua concavidade e então, qual equação reduzida devemos utilizar.

Seja a parábola com vértice V~(0,~0) e foco F~(0, -7). Observe que o foco tem a mesma posição que o vértice no eixo das abscissas. Isto significa que ele respeita a condição para parábolas com concavidade para cima ou para baixo.

Porém, como o vértice está na origem e o foco está abaixo deste ponto, consideramos que a parábola tem concavidade para baixo. Então, utilizamos a equação reduzida:

y=-\dfrac{1}{2p}\cdot(x-x_v)^2+y_v, na qual (x_v,~y_v) são as coordenadas do foco e p é o parâmetro, distância entre o foco e a reta diretriz.

A partir das coordenadas do foco, podemos deduzir qual é o valor do parâmetro. Nestas condições, o foco tem as seguintes coordenadas:

F~\left(x_v,~y_v-\dfrac{p}{2}\right). Então, ao igualarmos estas coordenadas àquelas que nos foram dadas, temos que

0-\dfrac{p}{2}=-7

Isole p, multiplicando ambos os lados da equação por (-2)

p=14

Substitua o valor de p  e as coordenadas dos vértices na equação reduzida

y=-\dfrac{1}{2\cdot 14}\cdot(x-0)^2+0

Multiplique e some os valores

y=-\dfrac{1}{28}\cdot x^2

Esta é a equação reduzida desta parábola.

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