Question

Escrever a equação reduzida da parábola com vértice V(0,0) e foco V(0,-7).

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=-\dfrac{1}{28}\cdot x^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a equação reduzida desta parábola, devemos relembrar algumas propriedades.

A parábola é uma cônica originada a partir de um corte paralelo a geratriz de um cone e é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz.

Dadas algumas informações, podemos deduzir como será sua concavidade e então, qual equação reduzida devemos utilizar.

Seja a parábola com vértice $V~(0,~0)$ e foco $F~(0, -7)$. Observe que o foco tem a mesma posição que o vértice no eixo das abscissas. Isto significa que ele respeita a condição para parábolas com concavidade para cima ou para baixo.

Porém, como o vértice está na origem e o foco está abaixo deste ponto, consideramos que a parábola tem concavidade para baixo. Então, utilizamos a equação reduzida:

$y=-\dfrac{1}{2p}\cdot(x-x_v)^2+y_v$, na qual $(x_v,~y_v)$ são as coordenadas do foco e $p$ é o parâmetro, distância entre o foco e a reta diretriz.

A partir das coordenadas do foco, podemos deduzir qual é o valor do parâmetro. Nestas condições, o foco tem as seguintes coordenadas:

$F~\left(x_v,~y_v-\dfrac{p}{2}\right)$. Então, ao igualarmos estas coordenadas àquelas que nos foram dadas, temos que

$0-\dfrac{p}{2}=-7$

Isole $p$, multiplicando ambos os lados da equação por $(-2)$

$p=14$

Substitua o valor de $p$  e as coordenadas dos vértices na equação reduzida

$y=-\dfrac{1}{2\cdot 14}\cdot(x-0)^2+0$

Multiplique e some os valores

$y=-\dfrac{1}{28}\cdot x^2$

Esta é a equação reduzida desta parábola.