Question

Escrevem-se os inteiros de 1 até 2.222 .Quantas vezes o algarismo 0 é escritor?
POR FAVOR ME AJUUDEEEM É PARA AMANHÃ!!!!

Answer 1

Na unidade ele aparece nos números 10, 20,...,2220,  o que resulta em 222 vezes.

Na dezena ele aparece nos números 10x,20x,...,220x, o que resulta em 22X10 = 220 vezes.

Na centena ele aparece nos números 10xy, 20xy..., o que resulta em 2X10X10 = 220 vezes.

Somando todos os casos acima (222+220+220) chegamos ao resultado 642, que é o número de vezes em que ele aparece.

Answer 2

O zero é escrito 561 vezes

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A questão explora os conhecimentos de uma parte da Matemática chamada Combinatória. Observando que o número dado é da ordem dos milhares, dividirei a solução em etapas.

(1) Quantos são os números de UM algarismo que contém zero?

Ora, nenhum! De fato, de 1 a 9 nenhum contém o zero na sua representação.

Dessa forma, não existe nenhum número e o zero não aparece nenhuma vez.

(2) Quantos são os números de DOIS algarismos que contém zero?

Para tal, note que o zero precisa figurar a casa das unidades. Dessa forma todos os números que contém o algarismo zero são da forma:

_ 0

Como são 9 os números possíveis para ocupar a casa da dezena (De 1 a 9), temos 9 números. Logo, o zero aparece 9 vezes.

(3) Quantos são os números de TRÊS algarismos que contém zero?

Para tal, note que o zero precisa figurar a casa das unidades e/ou da dezena. Dessa forma todos os números que contém o algarismo zero são da forma:

_ _ 0    

_ 0 _

_ 0 0

Analisando cada caso:

• _ _ 0 ⇒ Tem-se 9 possibilidades para primeira casa e 9 para segunda. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 81 números e o zero aparecendo 81 vezes.
• _ 0 _ ⇒ Tem-se 9 possibilidades para primeira casa e 9 para terceira. Logo,  temos  também 81 números e o zero aparecendo 81 vezes.
• _ 0 0 ⇒ Tem-se 9 possibilidades para primeira casa. Contudo, dois zeros aparecem a cada número com essa configuração. Logo,  temos  9 números nesse formato, contudo 9 x 2 = 18 aparições do zero.

Somando a quantidade em cada caso, 81 + 81 + 18 = 180 números

(4) Quantos são os números de QUATRO algarismos (menores ou iguais a 2000) que contém zero?

Agora, o zero precisa figurar a casa das unidades, da dezena e/ou da centena. Dessa forma todos os números que contém o algarismo zero são da forma:

1 _ _ 0    

1 _ 0 _

1 0 _ _  

1 0 0 _

1 0 _ 0

1 _ 0 0

1 0 0 0

2 0 0 0

Usando os mesmos argumentos anteriores:

• 1 _ _ 0   ⇒ zero aparece 81 vezes
• 1 _ 0 _   ⇒ zero aparece 81 vezes
• 1 0 _ _   ⇒ zero aparece 81 vezes
• 1 0 0 _   ⇒ zero aparece 9 x 2 = 18 vezes
• 1 0 _ 0   ⇒  zero aparece 9 x 2 = 18 vezes
• 1 _ 0 0   ⇒  zero aparece 9 x 2 = 18 vezes
• 1 0 0 0   ⇒  zero aparece 3 vezes
• 2 0 0 0  ⇒  zero aparece 3 vezes

Somando a quantidade em cada caso, 81 . 3 + 18 . 3 + 3. 2 = 303 números

(5) Quantos são os números de QUATRO algarismos maiores que 2000 e menores ou iguais a 2100 que contém zero?

Agora, o zero precisa figurar a casa das dezenas e/ou das unidades. Dessa forma todos os números que contém o algarismo zero são da forma:

2 0 _ 0    

2 0 0 _

2 1 0 0

Da mesma forma:

• 2 0 _ 0   ⇒ zero aparece 9 x 2 = 18 vezes
• 2 0 0 _   ⇒ zero aparece 9 x 2 = 18 vezes
• 2 1 0 0   ⇒ zero aparece 2 vezes

Somando a quantidade em cada caso, 18 + 18 + 2 = 38 números

(6) Quantos são os números de QUATRO algarismos maiores que 2100 e menores ou iguais a 2200 que contém zero?

Agora, o zero precisa figurar a casa das dezenas e/ou das unidades. Dessa forma todos os números que contém o algarismo zero são da forma:

2 1 _ 0    

2 1 0 _

2 2 0 0

Da mesma forma:

• 2 1 _ 0   ⇒ zero aparece 9 vezes
• 2 1 0 _   ⇒ zero aparece 9 vezes
• 2 2 0 0   ⇒ zero aparece 2 vezes

Somando a quantidade em cada caso, 9 + 9 + 2 = 20 números

(7) Quantos são os números de QUATRO algarismos maiores que 2200 e menores ou iguais a 2222 que contém zero?

Tais números que contém o algarismo zero são da forma:

2 2 _ 0

2 2 0 _  

De forma semelhante:

2 2 _ 0   ⇒ zero aparece 2 vezes (2210 e 2220)

2 2 0 _   ⇒ zero aparece 9 vezes

Somando a quantidade em cada caso, 9 + 2 = 11 números

Por fim, fazendo a soma:

0 + 9 + 180 + 303 + 38 + 20 + 11 = 561 vezes

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