Question

Escreva v  (3, 7, 4) como combinação linear de u1  (1, 2, 3) , u2  (2, 3, 7) e u3  (3, 5, 6) .

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

Devemos escrever v como combinação linear de u1, u2 e u3.

Equivale a determinar os coeficientes u1, u2 e u3 de modo que a igualdade seja veradeira.

(3,7,4) = u1(1,2,3) +u2(2,3,7) + u3(3,5,6)

Temos então o seguinte sistema linear:

u1 + 2u2 + 3u3 = 3

2u1 + 3u2 + 5u3 = 7

3u1 + 7u2 + 6u3 = 4

Montando a matriz:

1   2  3   3  

2  3  5   7

3  7   6  4

1o. objetivo: zerar o primeiro elemento da segunda linha

Faça: L2 = L2 - 2*L1  (a nova linha 2 dois será a atual linha dois menos 2 vezes a L1.

1   2  3   3  

0  -1  -3  1

3  7   6  4

2o. objetivo: zerar o primeiro elemento da terceira linha

Faça: L3 = L3 - 3*L1  (a nova linha 3 será a atual linha 3 menos 3 vezes a L1.

1   2  3   3  

0  -1  -3   1

0   1   -3  5

3o. objetivo: zerar o segundo elemento da terceira linha

Faça: L3 = L3 - (-L1)*L2  (a nova linha 3 será a atual linha 3 menos - o simétrico da linha L1 multiplicado pela).

1  2  3   3

0 -1 -3   1

0  0 -6 -4

Substituímos os coeficientes num novo sistema equiavalente ao primeiro.

u1 + 2u2 + 3u3 = 3

     - u2   - 3u3  = 1

               - 6u3 = -4

Observe que temos uma igualdade direta na 3a linha.

u3 = 2/3

-u2 - 3(2/3) = 1

-u2 - 2 = 1

u2 = -3

u1 + (2*-3) + (3*2/3) = 3

u1 + -6 + 2 = 3

u1 = 7

Então escrevemos v como combinação linear de u1, u2 e u3:

Resposta

(3 , 7 ,  4 ) = 7(1 , 2 , 3) -3(2 , 3 , 7) + 2/3(3 , 5 , 6)

Para conferir, observe que as igualdades abaixo são satisfeitas:

3 = 7 * 1 - 3*2 + (2/3)*3

7 = 7*2 - 3*3 + (2/3)*5

4 = 7*3 - 3*7 + (2/3)*(6)