Question

Escreva uma parametrização para as curvas dadas pelas equações gerais:

a) x²+y² = 16

b) 3x + 2y -5 = 0

Answer 1

a) $x^2+y^2=16$

$x^2+y^2=4^2$


é uma circunferência com centro na origem (0, 0), e raio $r=4.$


$\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1\\\\\\ \left(\dfrac{x}{4} \right )^{\!2}+\left(\dfrac{y}{4} \right )^{\!2}=1$


Uma parametrização comum é fazer

$\dfrac{x}{4}=\cos \theta~~\text{ e }~~\dfrac{y}{4}=\mathrm{sen\,}\theta\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{l} x=4\cos \theta\\ y=4\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array} \right.~~~~~~~~0\le \theta \le 2\pi$


Note que se substituirmos $x$ e $y,$ a equação da circunferência será satisfeita.

_________

b) $3x+2y-5=0$

Podemos escrever a equação da reta na forma segmentária:

$3x+2y=5\\\\ \dfrac{3}{5}\,x+\dfrac{2}{5}\,y=1\\\\\\ \dfrac{x}{\left(\frac{5}{3} \right )}+\dfrac{y}{\left(\frac{5}{2}\right)}=1$


Fazendo

$\dfrac{x}{\left(\frac{5}{3} \right )}=t\\\\\\ x=\dfrac{5}{3}\,t\\\\\\\\ \dfrac{y}{\left(\frac{5}{2} \right )}=1-\dfrac{x}{\left(\frac{5}{3} \right )}\\\\\\ \dfrac{y}{\left(\frac{5}{2} \right )}=1-t\\\\\\ y=\dfrac{5}{2}\,(1-t)$


Então obtemos um par de equações paramétricas para a reta:

$\left\{\! \begin{array}{l} x=\dfrac{5}{3}\,t\\\\ y=\dfrac{5}{2}\,(1-t) \end{array} \right.~~~~~~~~t\in\mathbb{R}$

Note que se substituirmos $x$ e $y,$ a equação da reta será satisfeita.

_________

As parametrizações não são únicas. Existem outras formas de parametrizar essas curvas.


Bons estudos! :-)