Question

escreva uma equação simétrica da reta s determinada pelos pontos A(2,4,3) e B(-1,2,5). Verifique, depois,se o ponto C(0,1,2) pertence à s.

Answer 1

Olá.

Vamos fazer a equação paramétrica da reta e depois chegamos na paramétrica. Depois faço de outro modo para mostrar.

O vetor AB é:

AB = B - A = (-1, 2, 5) - (2, 4, 3) = (-3, -2, 2)

A equação paramétrica da reta será:

$r:\begin{cases}x = 2 - 3t\\ y=4 - 2t\\ z=3+2t\end{cases}$

Em cada uma dessas, vamos isolar o parâmetro t:

$t = \dfrac{2-x}{3} ;~~~t = \dfrac{4-y}{2}; ~~~~ t = \dfrac{z-3}{2}$


Como os parâmetros são números reais e como falamos do mesmo escalar t, vem a igualdade entre eles:

$\boxed{\frac{2-x}{3}=\frac{4-y}{2}=\frac{z-3}{2}}$


O outro modo é mais direto. Já temos o vetor da direção da reta e um ponto dela. Assim, para um ponto $(x_0,y_0,z_0)$ e vetor de direção $(a,b,c)$ , a equação será:

$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$

No nosso caso:

$\dfrac{x-2}{-3} = \dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-3}{2}$

Que é exatamente a mesma equação encontrada anteriormente.


Parte II: Checar se um ponto faz parte. Vamos substituir os valores das coordenadas:

$\dfrac{2-0}{3} = \dfrac{4-1}{2} = \dfrac{2-3}{2}\\ \\ \frac23 = \frac32=-\frac12 \ \ \ (Falso)$


Logo, o ponto C não faz parte da reta.