Question

Escreva uma equação polinomial de coeficientes inteiros cujas raízes sejam os números -1, 5 e 2/3. Esses números são algébricos ou transcendentes? (É pra hoje)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Thagrazielle, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para escrever a equação polinomial de coeficientes INTEIROS, cujas raízes sejam os números: "-1", "5" e "2/3". Depois é perguntado se esses números são algébricos ou transcendentes.

ii) Bem, vamos escrever a equação polinomial, que, como tem três raízes, então vai ser uma equação do 3º grau, da forma: ax³ + bx² + cx + d = 0. E quando temos um polinômio do 3º grau, da forma acima, com raízes reais e iguais a x' , a x'' e a x''', a sua forma será esta:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o polinômio do 3º grau da sua questão, cujas raízes são "-1", "5" e "2/3",  será encontrado assim:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-(-1))*(x-5)*(x-2/3) ----- desenvolvendo, ficamos:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x+1)*(x-5)*(x-2/3) ----- considerando a = 1, teremos:

ax³ + bx² + cx + d = 1*(x+1)*(x-5)*(x-2/3) ---- ou apenas:

ax³ + bx² + cx + d = (x+1)*(x-5)*(x-2/3)

Agora note que: x - 2/3 ---- mmc = 3. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador). Então teremos para:

x - 2/3 = (3*x - 1*2)/3 = (3x-2)/3 . Assim, iremos em (x-2/3) e, no seu lugar, colocaremos (3x-2)/3, ficando assim:

ax³ + bx² + cx + d = (x+1)*(x-5)*(3x-2)/3) ------ como os coeficientes são todos inteiros, então vamos igualar o polinômio acima a zero, ficando:

(x+1)*(x-5)*(3x-2)/3 = 0  ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

(x+1)*(x-5)*(3x-2) = 3*0 ---- ou apenas:

(x+1)*(x-5)*(3x-2) = 0 ----- agora basta efetuar este produto e iremos encontrar:

3x³ - 14x² - 7x + 10 = 0 <--- Esta é a resposta para a equação polinomial pedida, com coeficientes inteiros.

iii) Agora vamos responder se os coeficientes são números algébricos ou transcendentes. Veja: todo coeficiente inteiro é necessariamente constituído de números algébricos. Logo, trata-se de:

números algébricos <--- Esta é a resposta para os coeficientes inteiros do polinômio da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.