Escreva uma equação geral da reta R que passa pelo ponto P(2;-1) e é perpendicular a reta S de equação s:y-2x+13=0
Soluções para a tarefa
Resposta:
Vamos lá.
Veja, Gomespaloma, que a resolução é bem simples.
Tem-se: "Escreva a equação geral de reta que é perpendicular à reta 3y+4x-3=0 e que passa pelo ponto de interseção das retas y+4x-13=0 e y-2x-1=0".
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Primeiro encontraremos qual é o ponto de intersecção entre as retas de equações: y+4x-13=0 e y-2x-1=0.
Para isso, basta que as igualemos, pois, no ponto de intersecção elas duas são exatamente iguais. Então, fazendo isso, teremos:
y + 4x - 13 = y - 2x - 1 ----- passando tudo o que tem "x" e "y" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:
y + 4x - y + 2x = - 1 + 13 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
6x = 12
x = 12/6
x = 2 <--- Este é o valor da abscissa "x" do ponto de intersecção entre as duas retas.
Agora, para encontrar o valor da ordenada "y", vamos em quaisquer uma das duas retas e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x" por "2".
Vamos na primeira reta, que é esta:
y + 4x - 13 = 0 ---- substituindo-se "x" por "2", teremos:
y + 4*2 - 13 = 0
y + 8 - 13 = 0
y - 5 = 0
y = 5 <--- Este é o valor da ordenada "y" no ponto de intersecção.
Assim, esse ponto de intersecção P(x; y) entre as duas retas será este:
P(2; 5) <--- Este é o ponto de intersecção entre as duas retas.
ii) Agora vamos para a outra reta, que é perpendicular à reta 3y+4x-3 = 0 e que passa no ponto P(2; 5) acima, que acabamos de encontrar (e que é o ponto de intersecção entre as duas outras retas).
Para isso, primeiro vamos encontrar qual é o coeficiente angular (m) da reta acima, e que é esta:
3y + 4x - 3 = 0 ---- para encontrar o seu coeficiente angular, vamos isolar "y". Assim, fazendo isso, teremos:
3y = - 4x + 3
y = (-4x +3)/3 ----- ou, dividindo-se cada fator por "3", teremos:
y = - 4x/3 + 3/3 ---- ou apenas:
y = - 4x/3 + 1 <--- Veja: o coeficiente angular é "-4/3", que é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y".
iv) Agora, finalmente, vamos encontrar qual é a equação geral da reta que é perpendicular à reta dada logo acima e que passa no ponto P(2; 5).
Antes veja que se uma reta é perpendicular a uma outra, então o produto entre seus coeficientes angulares será igual a (-1).
Então, chamando o coeficiente angular da reta dada de "m₁" e o coeficiente angular da reta que é perpendicular a ela de "m₂", deveremos ter isto:
m₁*m₂ = - 1 ----- substituindo-se "m₁" por "-4/3" , teremos:
(-4/3)*m₂ = - 1 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
(4/3)*m₂ = 1 ------- isolando "m₂", teremos:
m₂ = 1/(4/3) ----- veja que isto é a mesma coisa que "3/4". Logo:
m₂ = 3/4 <---- Este deverá ser o coeficiente angular da outra reta, que é perpendicular à reta dada e que passa no ponto P(2; 5).
Agora note isto: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e um ponto por onde ela passa (x₀; y₀), a sua equação é encontrada assim:
y - y₀ = m*(x - x₀).
Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "3/4" (m₂ = 3/4) e que passa no ponto P(2; 5), terá a sua equação encontrada da seguinte forma:
y - 5 = (3/4)*(x - 2) ---- note que isto é a mesma coisa que:
y - 5 = 3*(x - 2)/4 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*(y - 5) = 3*(x - 2) ---- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, teremos:
4y - 20 = 3x - 6 ----- passando todo o 1º membro para o 2º, ficaremos com:
0 = 3x - 6 - 4y + 20 ----- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos:
0 = 3x -4y + 14 ----- vamos apenas inverter, ficando:
3x -4y + 14 = 0 <--- Esta é a resposta. Esta é a reta que é perpendicular à reta 3y+4x-3=0 e que passa no ponto P(2; 5).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Explicação passo-a-passo: