Question

Escreva uma equação do 2⁰ grau cuja raízes sejam

A) 5+√2 e 5-√2
B) 4 e 6
C)-5 e 5
E) 0 e √2​

Answer 1

As equações do 2º grau com base em suas raízes são:

A.) x² - 10x + 23 = 0

B.) x² - 10x + 24 = 0

C.) x² -25 = 0

D.) x² - √2 x = 0

A fórmula de Bháskara nos permite concluir que:

  $\large x^2 - Sx + P = 0$

Onde:

S = Soma das raízes

P = Produto das raízes

Vamos à questão:

$\large A.)~x_1 = 5+\sqrt{2}~~~e~~~ x_2= 5-\sqrt{2}$

     $\large S = x_1 + x_2 \Rightarrow S =5+\sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} \Rightarrow \boxed{S = 10}$

    $\large P = x_1 \cdot x_2 \Rightarrow P= (5+\sqrt{2}).(5-\sqrt{2} )$

    Conforme produto notável

    $\large (5+\sqrt{2}).(5-\sqrt{2} ) = 5^2 - (\sqrt[\backslash\!\!\!2]{2})^{\backslash\!\!\!2}$

    Então:

    $\large P = 25 - 2 \Rightarrow \boxed{P = 23}$

Logo a equação será:

   $\large \boxed{x^2 - 10x + 23=0 }$

$\large B.)~x_1 = 4~~~e~~~ x_2= 6$

      $\large S = 4 + 6 \Rightarrow \boxed{S = 10}$

      $\large P = 4 \cdot 6 \Rightarrow \boxed { P = 24}$

      A equação:

      $\large \boxed{x^2 -10x + 24 = 0}$

$\large C.)~x_1 = -5~~~e~~~ x_2= 5$

      $\large S = -5 + 5 \Rightarrow \boxed{S = 0}$

      $\large P = -5 \cdot 5 \Rightarrow \boxed { P = -25}$

      A equação:

      $\large \boxed{x^2 - 25 = 0}$

$\large D.)~x_1 = 0~~~e~~~ x_2= \sqrt{2}$

      $\large \text { S = 0 + \sqrt{2} \Rightarrow \boxed{S = \sqrt{2} } }$

      $\large P = 0 \cdot \sqrt{2} \Rightarrow \boxed { P = 0}$

      A equação:

      $\large \text { \boxed{x^2 - \sqrt{2}~ x = 0} }$

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