Question

Escreva os números complexos a seguir na forma trigonométrica:

A) z1= 2+2√3i
B) z2=-2-2√3i
C) z3= -√3 + i
D) z4=3+3i
E) z5=-2i

Answer 1

FÓRMULA para TODOS

z = a + bi ≠ 0

senθ = b/ρ mesmo que

b = ρsenθ

cosθ = a/ρ mesmo que

a = ρcosθ

assim

z = a + bi

z = ρcosθ + ρsenθ.i

mesmo que

z = ρ(cosθ + i.senθ)

A)

z1= 2+2√3i atenção VEJA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

2√3i = mesmo que

√3i,2² mesmo que

√3i.4 mesmo que

√4.3i = √12i

assim

z1= 2 + 2√3i

z1 = 2 + √12i

a = 2

b = √12

p=√(-a)²+(-b)²

ρ = √2² + (√12)²

ρ = √4 + (√12)² elimina a √(raiz quadrada) com o (²)) fica

ρ =√4 + 12

ρ = √16 ======>√16 = 4

ρ = 4

senθ = b/ρ = 2√3/4 ( divide AMBOS por 2) = √3/2 = 60º ou π/3

cosθ = a/ρ = 2/4 ( divide AMBOS por 2) = 1/2 = 60º ou π/3

finalizando

z = ρ(cosθ + i.senθ)

z = 4(cos60º + i.sen60º)

ou

z = 4(cosπ/3 + i.senπ/3)

B)

z2=-2-2√3i OLHA no (a)))) SÓ muda o SINAL

a = -2

b = - √12

ρ = √(-2)² + (-√12)² idem acima

ρ = √+4 + 12

ρ = √16

ρ = 4

cosθ=a/p

senθ=b/p

cosθ = 2/4 = 1/2 = 60°

senθ = 2√3/4 = √3/2 = 60° ou

z = 4(cos60° + i.sen60°)

ou

z = 4(cosπ/3 + i.senπ/3)

C) z3= -√3 + i

a = - √3

b = 1

ρ = √(-√3)² + 1²

ρ = √(+√3)² + 1 idem acima

ρ = √3 + 1

ρ = √4

ρ = 2

senθ = b/ρ = 1/2 = 60º

cosθ = a/ρ = √3/2 = 60º

z = ρ(cosθ + i.senθ)

z = 2(cos60° + i.sen60°)

ou

z = 4(cosπ/3 + i.senπ/3)

D) z4=3+3i

a = 3

b = 3

ρ = √3² + 3²

ρ = √9 + 9

ρ = √18 ===> (18 = 2x3x3 = 2.3²)

ρ = √2.3²

ρ = 3√2

senθ = b/ρ = 3/3√2 = 1/√2 = √2/2 = 45º

cosθ = a/ρ = 3/3√2 1/√2 = √2/2 = 45º

z = ρ(cosθ + i.senθ)

z = 3√2(cos45º + i.sen45º)

ou

z = 3√2(cosπ/4 + i.senπ/4)

E) z5=-2i

a = 0

b = - 2

ρ = √0² + (-2)²

ρ = √0 + 4

ρ = √4

p = 2

senθ = b/ρ = 2/2 = 1 = 90º

cosθ = a/ρ = 0/2 = 0 = 90º

z = ρ(cosθ + i.senθ)

z = 2(cos90º + i.sen90º)

ou

z = 2(cosπ/2 + i.senπ)

√√√√