Question

Escreva o vetor v = (1,−2,5) como combinação linear dos vetores v1 = (1,1,1) e v2 = (1,2,3) e v3 = (2,−1,1).

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Escrever o vetor v como uma combinação linear dos vetores v₁, v₂ e v₃. Para escrever um vetor como combinação linear de outros, devemos deixa-lo no seguinte formato:

$\sf{v=x\cdot v_1+y\cdot v_2+z\cdot v_3}$

A partir desse formato, encontramos um sistema linear e o resolvemos para encontrar os valores de x, y e z. Vejamos para o nosso caso:

$\sf{v=x\cdot v_1+y\cdot v_2+z\cdot v_3}\\ \\ \sf{(1,-2,5)=x\cdot (1,1,1)+y\cdot (1,2,3)+z\cdot (2,-1,1)}\\ \\ \\ \sf{Sistema=}\begin{cases} \sf{x+y+2z=1}\\ \sf{x+2y-z=-2} \\ \sf{x+3y+z=5} \end{cases}$

Agora teremos a tarefa de resolver esse sistema de ordem 3. Para tanto, vamos montar sua matriz ampliada e fazermos o escalonamento da mesma (Teorema de Gauss):

$\sf{Matriz~ampliada=}\left[\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\1&2&-1&-2\\1&3&1&5\end{array}\right]$

Com a matriz ampliada montada, vamos multiplicar a linha 1 por - 1 e somar com a linha 2, obtendo:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\0&1&-3&-3\\1&3&1&5\end{array}\right]$

Agora vamos multiplicar a linha 1 por - 1 e somar com a linha 3, obtendo:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\0&1&-3&-3\\0&2&-1&4\end{array}\right]$

Agora vamos multiplicar a linha 2 por - 2 e somar com a linha 3, obtendo:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\0&1&-3&-3\\0&0&5&10\end{array}\right]$

Pronto, nossa matriz está escalonada. Agora podemos voltar para o sistema e resolve-lo de forma bem simples:

$\sf{Sistema~escalonado=}\begin{cases} \sf{x+y+2z=~1}\\ \sf{~~~~~y-3z=-3} \\ \sf{~~~~~~~~~~5z=10} \end{cases}$

Da terceira equação desse sistema, teremos que:

5z = 10

z = 10 / 5

z = 2

Com z em mãos, o substituímos na equação 2 para encontrarmos y:

y - 3z = - 3

y - 3 · 2 = - 3

y - 6 = - 3

y = - 3 + 6

y = 3

Com y e z em mãos, os substituímos na equação 1 para encontrarmos x:

x + y + 2z = 1

x + 3 + 2 · 2 = 1

x + 7 = 1

x = 1 - 7

x = - 6

Ou seja, descobrimos que x = - 6, y =  3 e z = 2. Desse modo, teremos que o vetor v é escrito como combinação linear dos outros, na seguinte forma:

$\sf{\blue{v=-6\cdot v_1+3\cdot v_2+2\cdot v_3}}$

Ou ainda:

$\sf{\blue{(1,-2,5)=-6\cdot (1,1,1)+3\cdot (1,2,3)+2\cdot (2,-1,1)}}$

Como complemento da questão, deixo aqui a informação de que como o vetor v pode ser escrito como uma combinação linear dos demais, esse conjunto de vetores é Linearmente Dependente.

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!