Question

Escreva o vetor v = (−1, 2, 3) como uma combinação linear dos vetores:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolver esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em álgebra linear.

Um vetor $\vec{v}$ pode ser escrito como combinação linear de outros vetores $\vec{e}_1,~\vec{e}_2$ e $\vec{e}_3$ se existem coeficientes $\alpha,~\beta,~\gamma\in\mathbb{R}$ tal que $\vec{v}=\alpha\cdot \vec{e}_1+\beta\cdot \vec{e}_2+\gamma\cdot \vec{e}_3$.

Então, fazemos:

$(-1,~2,~3)=\alpha\cdot(-4,~10,~5)+\beta\cdot(1,~1,\,-2)+\gamma\cdot(2,~0,~3)$

A multiplicação de um vetor $\vec{u}=(u_1,~u_2,~u_3)$ por um escalar é dada por: $k\cdot \vec{u}=(k\cdot u_1,~k\cdot u_2,~k\cdot u_3)$. Assim, teremos:

$(-1,~2,~3)=(-4\alpha,~10\alpha,~5\alpha)+(\beta,~\beta,\,-2\beta)+(2\gamma,~0,~3\gamma)$

A soma de vetores é uma operação linear, logo vale que $\vec{u}+\vec{w}=(u_1+w_1,~u_2+w_2,~u_3+w_3)$. Dessa forma, temos:

$(-1,~2,~3)=(-4\alpha+\beta+2\gamma,~10\alpha+\beta,~5\alpha-2\beta+3\gamma)$

Igualamos as coordenadas dos vetores, de modo que teremos o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}-4\alpha+\beta+2\gamma=-1\\10\alpha+\beta=2\\5\alpha-2\beta+3\gamma=3\\\end{cases}$

Multiplique a primeira linha por um fator $3$ e a terceira linha por fator $(-2)$ e some as linhas:

$\rightarrow L_1\cdot3+L_3\cdot(-2)\\\\\\ (-4\alpha+\beta+2\gamma)\cdot 3 + (5\alpha-2\beta+3\gamma)\cdot (-2)=(-1)\cdot3+3\cdot(-2)\\\\\\ -12\alpha + 3\beta + 6\gamma -10\alpha +4\beta - 6\gamma=-3-6\\\\\\ -22\alpha +7\beta=-9$

Com esta nova equação, formamos um novo sistema de equações entre esta e equação da segunda linha:

$\begin{cases}-22\alpha+7\beta=9\\10\alpha + \beta=2\\\end{cases}$

Multiplique a segunda linha por um fator $(-7)$ e some à primeira linha

$\rightarrow L_1+L_2\cdot(-7)\\\\\\ -22\alpha+7\beta+(10\alpha +\beta)\cdot(-7)=-9+2\cdot(-7)\\\\\\ -22\alpha + 7\beta-70\alpha-7\beta=-9-14\\\\\\ -92\alpha=-23$

Divida ambos os lados da equação por um fator $(-92)$ e simplifique a fração

$\boxed{\alpha=\dfrac{1}{4}}$

Substituindo este resultado em qualquer uma das duas equações do segundo sistema, teremos:

$10\cdot\dfrac{1}{4}+\beta=2\\\\\\ \dfrac{5}{2}+\beta=2\\\\\\\ 5+2\beta=4\\\\\\ 2\beta=-1\\\\\\ \boxed{\beta=-\dfrac{1}{2}}$

Substituindo estes resultados em qualquer uma das equações do sistema original, temos:

$-4\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+2\gamma=-1\\\\\\ -1-\dfrac{1}{2}+2\gamma=-1\\\\\\ -\dfrac{3}{2}+2\gamma=-1\\\\\\ -3+4\gamma=-2\\\\\\ 4\gamma=1\\\\\\ \boxed{\gamma=\dfrac{1}{4}}$

Dessa forma, escrevemos o vetor $\vec{v}=(-1,~2,~3)$ como combinação linear dos vetores $\vec{v}_1,~\vec{v}_2$ e $\vec{v}_3$:

$\Large{\boxed{\vec{v}=\dfrac{1}{4}\cdot(-4,~10,~5)-\dfrac{1}{2}\cdot(1,~1,\,-2)+\dfrac{1}{4}\cdot(2,~0,~3)~~\checkmark}}$