Question

escreva o vetor u= (1,2,3)na base B{(0,1,1), (1,-1,2), (2,3,4)}

Answer 1

Olá  Phamellapassos, neste exercício iremos ver um pouco sobre um teorema muito importante da álgebra linear, o teorema nos diz que uma base gera o espaço vetorial todo. Vamos lá!

Resposta:

$u=1.(0,1,1)+\frac{1}{5}.(1,-1,2)+\frac{2}{5}.(2,3,4)$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, o teorema nos diz que, dada uma base $B=\{b_1,...,b_n\}$ num espaço vetorial V, então todo vetor $x \in V$ exprime-se como combinação linear dos vetores desta base, isto é:

$x=\sum_{i=1}^{n} a_i.b_i , a_i \in \mathbb{R}$

Vamos a solução do problema.

Queremos escrever o vetor $u=(1,2,3)$ na base B. Para isto, pelo teorema acima, teremos:

$u=a_1.(0,1,1)+a_2.(1,-1,2)+a_3.(2,3,4)$

$(1,2,3)=a_1.(0,1,1)+a_2.(1,-1,2)+a_3.(2,3,4)$

Assim:

$(1,2,3)=(0,a_1,a_1)+(a_2,-a_2,2a_2)+(2a_3,3a_3,4a_3)$

Logo:

$(1,2,3)=(0+a_2+2a_3,a_1-a_2+3a_3,a_1+2a_2+4a_3)$

Pela igualdade de vetores, vem:

$1=0+a_2+2a_3$ (i)

$2=a_1-a_2+3a_3$ (ii)

$3=a_1+2a_2+4a_3$ (iii)

Em (i), podemos fazer:

$a_2=1-2a_3$ (iv)

Substituindo (iv) em (ii) e (iii), resulta:

$2=a_1-(1-2a_3)+3a_3=a_1-1+5a_3 \Rightarrow 3=a_1+5a_3$

$3=a_1+2.(1-2a_3)+4a_3 \Rightarrow 3=a_1+2-4a_3+4a_3$

Disso, resulta que:

$a_1=1$

Substituindo $a_1=1$ em (ii), resulta:

$2=1-a_2+3a_3 \Rightarrow 1=-a_2+3a_3 (v)$

$a_2=1-2a_3 (iv)$

Substituindo (iv) em (v), vem:

$1=-(1-2a_3)+3a_3 \Rightarrow 1=-1+2a_3+3a_3 \Rightarrow 2=5a_3$

$5a_3=2 \Rightarrow a_3=\frac{2}{5}$

Sendo assim, substituindo $a_3$ em (v), vem:

$1=-a_2+3.\frac{2}{5} \Rightarrow a_2=\frac{6}{5}-\frac{5}{5} \Rightarrow a_2=\frac{1}{5}$

Portanto:

$u=a_1.(0,1,1)+a_2.(1,-1,2)+a_3.(2,3,4)=1.(0,1,1)+\frac{1}{5}.(1,-1,2)+\frac{2}{5}.(2,3,4)$

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!