Question

Escreva o vetor (7,-1) como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e outro é perpendicular.

Answer 1

Analisando os vetores paralelos e os vetores perpendiculares ao vetor u = (1, -1), temos que, (7, -1) = (4, -4) + (3,3).

Vetores

Os vetores paralelos ao vetor u são os vetores que são múltiplos desse vetor, ou seja, que podem ser escritos na forma:

a*(1, -1) = (a, -a)

Os vetores que são perpendiculares ao vetor u são aqueles cujo produto interno com u é igual a zero. Ou seja, podemos escrever, que esses vetores são da forma (b, b). De fato, denotando o vetor procurado por (b, c), temos que:

b*1 + c*(-1) = 0

b = c

A questão proposta pede para que a soma dos dois vetores obtidos seja igual ao vetor u, portanto, temos que:

(a, -a) + (b, b) = (7, -1)

Pela definição de igualdade de vetores, obtemos o seguinte sistema de equações lineares:

a + b = 7

-a + b = -1

Cuja solução é dada por a = 4 e b = 3.

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