Question

Escreva o Teorema de Binet. Em seguida, verifique o teorema para as matrizes dadas,
$a \binom{1 \: 2}{4 \: 0} \: e \: b \binom{0 \: \: 2}{1 - 1}$
​

Answer 1

Resposta:

Solução:

$\displaystyle \sf A = \begin{pmatrix} \sf 1 & \sf 2 \\ \sf 4 & \sf 0 \\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle \sf B = \begin{pmatrix} \sf 0 & \sf 2 \\ \sf 1 & \sf - 1 \\ \end{pmatrix}$

Teorema de Binet:

Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então o determinante de AB é igual ao determinante de A vezes o determinante de B.

Demonstrar a propriedade para matriz de ordem 2:

$\displaystyle \sf A = \begin{pmatrix} \sf a & \sf b \\ \sf c & \sf d \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} \sf x & \sf y \\ \sf z & \sf w \\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle \sf AB = \begin{pmatrix} \sf ax +bz & \sf ay + bw \\ \sf cx +dz & \sf cy + dw \\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle \sf det(AB) = (ax +bz) \cdot (cy+dw) - (cx+dz) \cdot (ay+bw)$

$\displaystyle \sf det(AB) = acxy +adxw + bcyz + bd zw - [acxy + bcxw +adyz + bdzw]$

$\displaystyle \sf det(AB) =\diagup\!\!\!{ acxy} +adxw + bcyz +\diagup\!\!\!{ bd zw} - \diagup\!\!\!{ acxy} - bcxw -adyz - \diagup\!\!\!{ bdzw}$

$\displaystyle \sf det(AB) = adxw + bcyz - bcxw -adyz$

Comparando, temos:

$\displaystyle \sf A = \begin{pmatrix} \sf 1 & \sf 2 \\ \sf 4 & \sf 0 \\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle \sf B = \begin{pmatrix} \sf 0 & \sf 2 \\ \sf 1 & \sf - 1 \\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle \sf AB = \begin{pmatrix} \sf 1 \times 0 +2 \times 1 & \sf 1\times 2 + 2 \times (-2) \\ \sf 4 \times 0 +0\times 1 & \sf 4 \times 2 + 0 \times (-1)\\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle \sf AB = \begin{pmatrix} \sf 0 +2 & \sf 2 -4 \\ \sf 0 + 0 & \sf 8 + 0 \\ \end{pmatrix}$

$\displaystyle \sf AB = \begin{pmatrix} \sf 2 & \sf -2 \\ \sf 0 & \sf 8 \\ \end{pmatrix}$

Determinar o det( A B ):

$\displaystyle \sf det \:A \cdot det\;B = (0-8) \cdot (0-2)$

$\displaystyle \sf det\: A \cdot det\:B = -8 \cdot (-2)$

$\displaystyle \sf det \: A \cdot det \:B = 16$

Determinar o det(AB):

$\displaystyle \sf det(AB) = 16 -0$

$\displaystyle \sf det(AB) = 16$

Logo:

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf det(AB) = det\:A \cdot det \:B }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo a passo: