Question

Escreva o número complezo Z = -2i-2i na forma trigonométrica.

Answer 1

Olá,

z = - 2 - 2 i

A outra forma de representação, a trigonométrica é :

z = | z | ( cos Ф + i * sen Ф )

( nota 1: " Ф " uso este símbolo pois não encontro o adequado símbolo grego, denominado " teta " , que deve ter em seu livro de matemática

  nota 2 :  | z | = módulo do número complexo z também aparece no seu livro com uma letra grega que se pronuncia " ró ") 

                                 

                           y = Im (z)    ( parte positiva do eixo dos YY )

                        ↑
                         |
      - 2               | 
-------|-------------O------------- A -----→
    B  |            °  | 

        |         °      |

        |       °        |                    

        P  °           |  - 2     

 

Calculando o módulo do número complexo   z = - 2 - 2  i

| z | = √ ( (- 2 ) ² + 2 ² )

= √ 8     = √ ( 2 ²  *  2 )    =  ( √ 2 ) ²  *  √2

= 2 √ 2           | - 2 - 2 i | =  2 √ 2 

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A primeira parte já está calculada.

Precisamos de calcular o ângulo Ф , que é o ângulo AOP

Triângulo OBP é retângulo em B.

Os ângulos AOP e OBP têm os mesmos valores para os seus seno e  cosseno .

Cos (BOP ) = BO / OP

= (- 2 ) / ( 2 √2)   

Dividir numerador e denominador por 2

= -1 / √ 2

 racionaliza-se o denominador multiplicando ambos os termos da fração por √2

= - √2 / ( √2 * √2 )

= - √2 / 2 

Cos (BOP) = - √2 / 2 ,

o que faz sentido pois o sinal do cosseno é negativo no terceiro quadrante

Cálculo do sen (BOP) = BP / OP

= - 2 / ( 2√2 )

= - √2 / 2        faz sentido pois o sinal do seno é negativo no terceiro quadrante

                             

  2º quadrante      |        1º quadrante
                            
       ------------------|-------------------- 

  3º quadrante      |       4º quadrante

                            

1º Quadrante - Sen   e Cos      positivos

2º Quadrante  - Sen Positivo  ; Cos  Negativo

3º Quadrante  -  Sen e Cos  negativos

4º Quadrante -   Sen   negativo   ;  Cos  positivo

Nota: a partir de agora quando for preciso falar de ângulos, a dimensão não vai ser graus , mas  π radianos

Em termos de graus o ângulo π = 180 º

Assim 30 º = π / 6

45º = π / 4

60 º = π / 3

Tabela de valores trigonométricos  muito usados

            |   π / 6  |    π / 4   |  π / 3
----------|-----------| ---------- |---------

seno    |    1/2    | √ 2/ 2   |  √3 / 2
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  cos    | √3 / 2   |  √ 2/ 2   |    1/2   

-----------------------------------------------    
 tang    | √3 / 3   |       1     |    √3              ( tang x = sen x / cos x )

Cos (BOP) = - √ 2 / 2    e     Sen (BOP) = = - √ 2 / 2 

Ângulo BOP = π / 4

Mas para elaborar a forma trigonométrica do número complexo, o ângulo a registar na fórmula trigonométrica é o ângulo AOP.

Ângulos AOP = ângulo AOB + ângulo BOP

Ângulo AOP  =  π + π / 4

=  4π / 4  +  π /4 

= 5 π / 4

Temos todos os elementos para indicar a forma trigonométrica pedida.

Resposta 

A forma trigonométrica de 

- 2 – 2 i          é    2√ 2  ( cos 5π / 4 + i  sen 5π/4 )

que também tem uma escrita reduzida de  2√ 2  cis ( 5π / 4 )
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Nota : sinal ( * ) é multiplicação  ;  sinal ( / ) é divisão 

Espero ter ajudado.   Ensinando devidamente o que sei.
Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.

Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo