Question

Escreva o numero complexo Z = -1 + i na forma trigonométrica.

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos o seguinte número complexo na sua forma algebrica:

$\boxed{z = \underbrace{- 1}_{parte \: real(a)} \: +\underbrace{1}_{parte \: imagin\acute{a}ria(b)} .i}$

Para deixar esse complexo em sua forma trigonométrica, ele deve ser essa estrutura:

$\bigstar z = \rho.( \cos \theta + i. \sin \theta) \bigstar$

Note que temos alguns elementos, tais como o módulo "p" e o argumento "theta", vamos ter que calcular cada um deles.

Módulo:

É a distância da origem do plano Argand-gauss até o extremo do afixo, que pode ser calculado através de um Pitágoras.

$\boxed{ \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2}} }$

Como podemos notar é usado o número real e imaginário do complexo fornecido pela questão, sabemos os dados, então vamos substituir:

$\rho = \sqrt{( - 1) {}^{2} + (1) {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{1 + 1} \\ \boxed{\rho = \sqrt{2} }$

Tendo calculado o módulo, vamos para a próxima parte:

Argumento:

O argumento é o ângulo formado em relação ao eixo real "x", pode ser calculado através de Seno e Cosseno.

$\boxed{ \begin{cases} \sin \theta = \frac{b}{ \rho} \\ \\ \cos \theta = \frac{a}{ \rho} \end{cases}}$

Substituindo os dados:

$\sin \theta = \frac{ 1}{ \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{4} } = \boxed{ \frac{ \sqrt{2} }{2}} \\ \\ \cos \theta = \frac{ - 1}{ \sqrt{2} } = \frac{ - 1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ - 1\sqrt{2} }{ \sqrt{4} } = \boxed{ - \frac{ \sqrt{2} }{2} }$

Agora você pensa comigo, qual é o ângulo que possui o seno igual a √2/2 e cosseno igual a -√2/2, poderíamos pensar que é o ângulo de 45°, mas essa hipótese está errada, pois o seno no primeiro quadrante é positivo e o cosseno também.

Podemos imaginar o ângulo congruo a 45°, ou seja, 135° que está no segundo quadrante onde o seno é positivo e o cosseno é negativo. Esse é o ângulo que procuramos.

Substituindo na forma trigonométrica:

Forma trigonométrica:

$\begin{cases} z = \sqrt{2} .( \cos135 + i. \sin135) \\ ou \\ z = \sqrt{2}.( \cos \frac{3\pi}{4} + i. \sin \frac{3\pi}{4} )\end{cases}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️