Question

escreva na forma w = a + bi o número complexo ( 1 +i^11/ 1-i^19)^30

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para escrever o complexo "w" abaixo na forma w = a + bi:

w = [(1+i¹¹) / (1 - i¹⁹)]³⁰

Agora veja: como você já sabe, as potências de "i" têm um estágio que se repete de 4 em 4. Então, para saber qual é a potência que deverá ficar no lugar de uma potência que seja maior do que "4", basta que se divida essa potência por "4" e ver qual é o resto que vai dar.
Assim, veja que:

i¹¹ = dividindo-se "11" por "4" dá quociente 2 e resto "3". Então i¹¹ = i³ = -i.
i¹⁹ = dividindo-se "19" por "4" dá quociente 4 e resto "3". Então i¹⁹ = i³ = -i.
Assim, ficaremos com:

w = [(1+(-i)) / (1 - (-i))]³⁰
w = [(1-i)/(1+i)]³⁰ ----- veja que isto é a mesma coisa que:
w = (1-i)³⁰/(1+i)³⁰ ---- note que poderemos reescrever isto assim:
w = [(1-i)²]¹⁵/[(1+i)²]¹⁵ ---- como você já sabe: (1-i)² = -2i; e (1+i)² = 2i. Logo:

w = (-2i)¹⁵ / (2i)¹⁵ ---- veja que isto é a mesma coisa que:
w = (-2)¹⁵*i¹⁵ / 2¹⁵*1¹⁵ --- dividindo-se i¹⁵ do numerador com i¹⁵ do denominador, ficaremos apenas com:

w = (-2)¹⁵ / 2¹⁵ ---- note que (-2)¹⁵ = - (2)¹⁵ = - 2¹⁵ . Assim:

w = - 2¹⁵ / 2¹⁵ ---- como 2¹⁵/2¹⁵ = 1 e há um sinal de menos antes, então:

w = - 1 <--- Esta é a resposta.

Assim, "w" , na forma a + bi será:

w = - 1 + 0i

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.