Question

Escreva na forma trigonométrica e na forma geométrica o seguinte numero complexo :
z = √3 + i

Answer 1

Olá!

Temos os seguintes dados:

$z = a+bi$
$z = \sqrt{3} + 1$

Sendo: $a = \sqrt{3}$ e $b = 1$

Adotando o plano de Argand Gauss, em que o plano cartesiano é representado por números complexos, quando o ponto P é correspondente ao complexo z = a +bi,  lembrando que em um plano cartesiano a distância é calculada entre os pontos "P(a,b)" e "0" em relação ao ponto central das abscissas e coordenadas. (ver anexos).

Resolveremos usando o teorema de pitágoras, sendo:  $\rho = d_{0P}$ , vejamos:

$d_{0P}^2 = a^2+b^2$
$d_{0P} = \sqrt{a^2+b^2}$
$\rho = \sqrt{a^2+b^2}$

Sendo assim, temos:

$\rho = \sqrt{a^2+b^2}$
$\rho = \sqrt{ \diagup\!\!\!\!\sqrt{3\diagup\!\!\!^2}+1^2}$
$\rho = \sqrt{ 3+1}$
$\rho = \sqrt{4}$
$\boxed{\rho = 2}$

Agora, estabelecemos as relações geométricas dos complexos, vejamos:

$\boxed{Cos\:\Theta = \dfrac{a}{\rho}}\:\:\:\:e\:\:\:\:\boxed{Sen\:\Theta = \dfrac{b}{\rho}}$

Resolvendo:

$Cos\:\Theta = \dfrac{a}{\rho} \to Cos\:\Theta = \dfrac{ \sqrt{3} }{2}\to \boxed{\boxed{Cos\:\Theta = 30\:\º}}\end{array}}\qquad\checkmark$

$Sen\:\Theta = \dfrac{b}{\rho} \to Sen\:\Theta = \dfrac{1}{2}\to \boxed{\boxed{Sen\:\Theta = 30\:\º}}\end{array}}\qquad\checkmark$


Logo, forma geométrica:

$z = a+bi$

$z = a+bi\: \longleftrightarrow\:P\:(a,b)$

$z = \sqrt{3} +1\: \longleftrightarrow\:P\:( \sqrt{3} ,1)$

$\boxed{\boxed{P\:( \sqrt{3} ,1)}}\end{array}}\qquad\checkmark$

Logo: forma trigonométrica:

$z = \rho\:(cos\Theta+i*sen\Theta)\:\longleftrightarrow\:P\:( \rho ,\Theta)$

$\boxed{\boxed{z = 2*(cos\:30 + i*sen\:30)\:\longleftrightarrow\:P\:( 2 ,30\:\º)}}\end{array}}\qquad\checkmark$


Espero ter ajudado! :))

Segue o anexo para melhor compreensão