escreva na forma trigonométrica cada numero complexo Z1=2-2√3i
Soluções para a tarefa
Pede-se para escrever, na forma trigonométrica, o seguinte complexo:
z = 2 - 2√(3)i
Primeiro vamos encontrar qual é o módulo do complexo acima.Veja que um complexo, da forma z = a + bi, tem módulo dado assim:
|z| = √(a²+b²).
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o módulo do complexo z = 2 - 2√(3)i será:
|z| = √[2² + (-2√3)²]
|z| = √[4 + (4*3)]
|z| = √(4+12)
|z| = √(16) ------ como √(16) = 4, então teremos que:
|z| = 4 <---- Este é o módulo do complexo da sua questão.
Agora vamos encontrar o argumento (α).
Antes veja que um complexo, da forma z = a + bi, que tem módulo igual a |z|, terá o argumento (α) calculado assim:
cos(α) = a/|z|
e
sen(α) = b/|z| .
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, e considerando que o complexo da sua questão é: z = 2 - 2√(3)i, de módulo igual a "4", então teremos que:
cos(α) = 2/4 ---dividindo-se numerador e denominador por "2":
cos(α) = 1/2
e
sen(α) = -2√(3)/4 --- dividindo-se numerador e denominador por "2":
sen(α) = -√(3)/2
Agora note isto: o cosseno e o seno são iguais, respectivamente, a "1/2" e "-√(3)/2" apenas no arco de 300º (ou de 5π/3 radianos).
Antes veja que um complexo que tem módulo igual a |z| e tem argumento igual a "α", terá a seguinte forma trigonométrica:
z = |z|*(cos(α) +- isen(α))
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a forma trigonométrica do complexo da sua questão, que tem módulo igual a "4" e tem argumento igual a 300º (ou 5π/3 radianos) , será esta:
i) Se preferir a forma trigonométrica em graus:
z = 4*(cos(300º) + isen(300º))
ii) Se preferir a forma trigonométrica em radianos:
z = 4*(cos(5π/3) + isen(5π/3))
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
A forma trigonométrica do número complexo z₁ = 2 - 2√3i é z = 4(cos(300) + i.sen(300)).
Um número complexo é da forma z = a + bi.
A forma trigonométrica de um número complexo é da forma z = p(cosα + i.senα), sendo que:
p² = a² + b²
cosα = a/p
senα = b/p.
No número complexo z₁ = 2 - 2√3i, temos que a = 2 e b = -2√3.
Sendo assim, o valor de p é igual a:
p² = 2² + (-2√3)²
p² = 4 + 12
p² = 16
p = 4.
O valor do cosseno é igual a:
cosα = 2/4
cosα = 1/2.
Em senα = b/p, temos que o valor do seno é:
senα = -2√3/4
senα = -√3/2.
Agora, devemos analisar qual é o valor do ângulo α, em que cosα = 1/2 e senα = -√3/2 ao mesmo tempo.
Tal valor é α = 300º.
Portanto, a forma trigonométrica do número complexo z₁ = 2 - 2√3i é igual a:
z₁ = 4(cos(300) + i.sen(300)).
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