Question

escreva na forma reduzida a equação da circunferência 5x² + 5y² + 40x - 10y + 55 = 0

Answer 1

A equação reduzida da circunferência é dada da seguinte maneira:
$(x- \alpha )^{2} + (y- \beta )^{2} = R^{2}$

Vamos inicialmente simplificar a equação:
$5x^{2} + 5y^{2} + 40x - 10y + 55 = 0 (/5) \\ x^{2} + y^{2} + 8x - 2y + 11 = 0$

No modelo da equação geral da circunferência (esta que temos aí em cima), temos:
$A x^{2} +B y^{2} + Cx.y + D x + Ey + F = 0$
Vamos então separar os seguintes valores pra encontrarmos o centro e o raio da circunferência e então montar a equação na forma reduzida.

$A = 1 \\ B = 1 \\ C = 0 \\ D = +8 \\ E = -2 \\ F = 11$

Para encontrar o centro, vamos utilizar as seguintes fórmulas:

$\alpha = \frac{-D}{2} \\ \\ \beta = \frac{-E}{2}$

onde α e β são os respectivos valores dos pontos do centro

$\alpha = \frac{-D}{2} \\ \\ \alpha = \frac{-(+8)}{2} \\ \\ \alpha = \frac{-8}{2} \\ \\ \alpha = -4$

e

$\beta = \frac{-E}{2} \\ \\ \beta = \frac{-(-2)}{2} \\ \\ \beta = \frac{+2}{2} \\ \\ \beta = +1$

Portanto, esta é uma circunferência de Centro $(-4,+1)$.

Para concluirmos a forma reduzida da equação, basta encontrarmos o Raio da mesma, que pode ser dado pela seguinte fórmula:

$F = \alpha^{2} + \beta^{2} - R^{2}$

Como possuímos os valores de F, α e β, podemos aplicá-los na fórmula para encontrar o valor do raio R.

$F = \alpha^{2} + \beta^{2} - R^{2} \\ 11 = (-4)^{2} + 1^{2} - R^{2} \\ 11 = 16 + 1 - R^{2} \\ 17 - R^{2} = 11 \\ - R^{2} = 11 - 17 \\ -R^{2} = - 6 \\ R^{2} = 6 \\ R = \sqrt{6}$

Agora basta colocarmos todos os valores encontrados na forma reduzida da equação:

$(x- \alpha )^{2} + (y- \beta )^{2} = R^{2} \\ \left[\begin{array}{ccc}x-(-4)\end{array}\right] ^{2} + \left[\begin{array}{ccc}y - (+1)\end{array}\right] ^{2} = (\sqrt{6})^{2} \\ (x +4)^{2} + (y-1)^{2} = 6$

Portanto, a forma reduzida da equação da circunferência
$5x^{2} + 5y^{2} + 40x - 10y + 55 = 0$
é
$(x +4)^{2} + (y-1)^{2} = 6$.

Answer 2

A equação reduzida da circunferência 5x² + 5y² + 40x - 10y + 55 = 0 é (x + 4)² + (y - 1)² = 6.

A equação reduzida de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro e r a medida do raio.

Para escrevermos a equação da circunferência 5x² + 5y² + 40x - 10y + 55 = 0 na forma reduzida, precisamos completar quadrado.

Dito isso, temos que:

5x² + 40x + 5y² - 10y = -55.

Note que, para x, podemos colocar o 5 em evidência. Para y, podemos colocar o 5 em evidência também:

5(x² + 8x) + 5(y² - 2y) = -55.

Completando quadrado:

5(x² + 8x + 16) + 5(y² - 2y + 1) = -55 + 5.16 + 5.1

5(x + 4)² + 5(y - 1)² = 30.

Dividindo toda a equação por 5:

(x + 4)² + (y - 1)² = 6.

Portanto, podemos concluir que a equação reduzida da circunferência é (x + 4)² + (y - 1)² = 6, com centro em C = (-4,1) e raio r = √6.

Exercício sobre circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/18435088